ЛЕКЦИЯ 2. Динамика относительного движения точки

Динамика относительного движения точки.

Дифференциальные уравнения движения

механической системы. Центр масс механической системы.

Вопросы лекции.

1. Дифференциальное уравнение движения точки в неинерциальной системе отсчёта.

2. Уравнение относительного покоя точки.

3. Внешние и внутренние силы. Дифференциальные уравнения движения механической системы.

4. Центр масс механической системы и его определение.

5. Теорема о движении центра масс и закон сохранения движения центра масс.

Тарг, 2009; с.: 223–231, 264–265, 273–280

1. Дифференциальное уравнение движения точки в неинерциальной системе отсчёта.

Основной закон динамики

и вытекающее из него дифференциальное уравнение движение точки

справедливы только в инерциальных системах отсчета. Однако, часто возникает необходимость в исследовании движения точки под действием сил относительно неинерциальных осей координат.

Неинерциальной является, например, система координат, связанная с поверхностью Земли, поскольку она участвует во вращательном движении Земли вокруг оси и, кроме того, – в движении Земли вокруг Солнца.

Пусть имеется инерциальная система координат OXYZ, относительно которой произвольным образом (как твёрдое тело) движется подвижная система oxyz. Точка М массы m движется под действием силы.

Требуется найти закон её движения (т.е. решить вторую задачу динамики) относительно системы oxyz. Т.к. эта система движется произвольным образом, то можно предположить, что она является неинерциальной. Следовательно, для решения задачи нельзя применить основной закон динамики.

Рассмотрим движение точки в инерциальной системе OXYZ. Тогда справедлив основной закон динамики

Вспомнив сложное движение точки, можем записать

Подставляем в основной закон

раскрываем скобки

переносим слагаемые в правую часть равенства и получаем

В (1) слагаемые имеют размерности сил

поэтому их назвали соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Обозначения:

– сила инерции переносного движения (переносная сила инерции);

– сила инерции Кориолиса (кориолисова сила инерции).

Из равенств (2) и (3) следует, что модули сил инерции равны соответственно

а направления противоположны к направлениям соответствующих ускорений:

В случае кориолисовой силы инерции её направление более подробно может быть определено по относительной скорости:

С учётом введённых обозначений равенство (1) запишется в виде

Выражение (4) является основным законом динамики для неинерциальных систем:

произведение массы точки на её ускорение в неинерциальной системе равно сумме всех активных сил и реакций отброшенных связей, к которым должны быть добавлены переносная и кориолисова силы инерции.

Т.к. относительное ускорение точки – это локальная производная от относительной скорости, то, обозначая (только в данном вопросе!!) локальную производную обычным образом, а относительную скорость – просто, получим из (4)

дифференциальное уравнение относительного движения точки.

Согласно (2) и (3), для нахождения сил инерции нужно знать переносное и кориолисово (поворотное) ускорения точки. Эти ускорения определяются по формулам сложного движения точки:

Здесь: относительный радиус-вектор точки,; ускорение начала подвижной системы координат oxyz; угловая скорость и угловое ускорение подвижной системы.

2. Уравнение относительного покоя точки.

Пусть в неинерциальной системе oxyz точка находится в покое, т.е.. Тогда из (7) и (3) следует

а из (5) получаем

т.е. для того, чтобы точка находилась в покое в неинерциальной системе координат, нужно, чтобы сумма всех активных сил, реакций связей и переносной силы инерции была равна нулю.

Выражение (8) называется уравнением относительного покоя точки.

Теперь предположим, что точка движется равномерно и прямолинейно относительно неинерциальной системы координат:. Тогда из уравнения (5) следует

что является уравнением относительного равномерного и прямолинейного движения точки.

Следует отметить, что в инерциальных системах координат покой и равномерное прямолинейное движение точки не различимы: оба определяются одним и тем же условием

Неинерциальность системы отсчёта сказывается на поведении тел за счет действия дополнительных сил инерции (переносной и кориолисовой). Например, при движении точки по поверхности Земли переносная сила инерции обычно включается в вес тела и не учитывается, а кориолисова сила инерции отклоняет движущее тело перпендикулярно направлению его движения (вправо – в северном полушарии Земли, и влево – в южном, если смотреть в направлении движения тела).

Поскольку угловая скорость вращения Земли не велика:

то влияние кориолисовой силы инерции проявляется не очень сильно и только при больших скоростях движения и на больших расстояниях.

Например, если на широте Перми () из О в А (ОА = = 2 км) горизонтально движется тело со скоростью м/с, то за счёт действия кориолисовой силы инерции оно отклонится вправо от цели (А) на величину s = AB, которую можно посчитать по формуле

3. Внешние и внутренние силы. Дифференциальные уравнения движения механической системы.

Рассмотрим движение механической системы относительно инерциальной системы координат. Система состоит из N точек, имеющих массы. На точки системы действуют силы, а положения точек определяются радиус-векторами.

Рассматривая каждую точку системы отдельно, можно записать

Но в случае механической системы силы следует разбить на две группы: 1) силы, действующие на k-тую точку со стороны объектов, не входящих в данную систему (внешние силы); 2) силы взаимодействия между точками данной системы (внутренние силы).

Внешние силы обозначают значком «e» сверху у вектора силы:; а внутренние силы – значком «i» также сверху у вектора силы: и т.п. В силу третьего закона Ньютона внутренние силы взаимодействия между точками системы равны по модулю, противоположны по направлению и расположены вдоль линии, соединяющей точки:

Обозначим через

равнодействующую всех внешних сил, действующих на точку с номером k, а через

равнодействующую внутренних сил. Тогда дифференциальное уравнение для каждой точки системы можно записать в виде

Полученная система дифференциальных уравнений называется дифференциальными уравнениями движения механической системы. Число уравнений равно числу точек механической системы N (в проекциях на оси пространственной системы координат – 3N уравнений). Главным недостатком этой системы уравнений является наличие внутренних сил, которые чаще всего заранее не известны (даже при решении второй задачи динамики) и зависят от движения точек системы.

При практическом решении задач динамики все силы, действующие на точки системы, заменяют главным вектором и главным моментом для какого-либо центра приведения О. Таким образом, в центре приведения О получим:

Þ главный вектор внешних сил

Þ главный момент внешних сил

То же самое можно сделать и для внутренних сил, но, учитывая равенства (10) и (12), можно доказать что для любого центра приведения будет

т.е. главный вектор и главный момент внутренних сил систем относительно любого центра равны нулю.

В заключение следует отметить, что внешние силы могут превращаться во внутренние, и, наоборот, – внутренние становиться внешними. Все зависит от того, какая механическая система рассматривается. Пример.

Механическая система: тележка 1 с колесами + тело 2, скользящее по тележке и связанное с ней пружиной.

Внешние силы:

внутренние силы

Если теперь рассмотреть тело 2 отдельно, то для него силы станут внешними (сила тяжести остается внешней):

В свою очередь, к тележке, рассматриваемой отдельно от тела2, добавится внешняя сила.

4. Центр масс механической системы и его определение.

На движение механических систем влияет не только масса всей системы, но и то, как масса распределена по объёму, занимаемому системой в пространстве. Одной из характеристик распределения массы является центр масс.

Центром масс механической системы называется такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле

Сумма масс всех точек системы

называется массой системы. Поэтому равенство (17) можно записать так:

Проектируя выражения (17) или (19) на выбранные оси координат, получим формулы для определения координат центра масс:

Если точки механической системы движутся, т.е., то из (17), или (19), следует, что и, вообще говоря,. Тогда, дифференцируя по времени (19), можем найти скорость центра масс

и его ускорение

С помощью (20) можно найти проекции скорости и ускорения центра масс на оси координат.

Для произвольных механических систем положение центра масс находится по формулам(17), или (19) (координаты – по формулам (20)). Для твёрдых тел в этих равенствах вместо сумм должны стоять интегралы, но можно непосредственно установить положение центра масс тела. Домножим обе части (19) на ускорение свободного падения:

и вспомним, что, тогда

а эта формула для определения центра тяжести твердого тела. Следовательно, центр масс тела всегда совпадает с центром тяжести этого тела!

5. Теорема о движении центра масс и закон сохранения движения центра масс.

Запишем дифференциальные уравнения движения механической системы (13):

Почленно сложим все уравнения:

Имеем:

главный вектор внешних сил;

главный вектор внутренних сил, равный нулю;

где масса всей системы. В результате получим:

Если теперь сравнить равенство (23) с дифференциальным уравнением движения материальной точки

то получим

Дата добавления: 2014-01-05