Теорему о движении центра масс механической системы

Центр масс механической системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложены все внешние силы.

Уравнение (23) называют дифференциальным уравнением движения центра масс. В проекциях на оси координат Oxyz (23) запишется

Закон сохранения движения центра масс.

Пусть внешние силы, действующие на систему таковы, что (силы приводятся к паре сил, или уравновешены). В этом случае из (23), учитывая, что, будет следовать

т.е. центр масс в этом случае движется прямолинейно и равномерно (если), или находится в покое (если). Это и есть закон сохранения движения центра масс системы:

если главный вектор внешних сил равен нулю, то центр масс системы движется равномерно и прямолинейно, или находится в покое.

На практике закон сохранения в виде (25) выполняется не слишком часто. Чаще возникает такая ситуация:

Тогда из (24) получим ()

что будет частным случаем закона сохранения движения центра масс:

если проекция главного вектора внешних сил на какую-либо ось равна нулю, то центр масс системы относительно этой оси движется равномерно (если), или находится в покое (если).

Пусть. Следовательно, из закона сохранения можем получить

т.е. центр масс системы неподвижен.

Пусть в момент t положения точек системы определяются радиус-векторами, а в момент радиус-векторами.

По формуле (19) имеем:

в момент

а в момент

Вычитая из второго равенства первое получим

но это перемещения точек системы за промежуток. Поэтому получаем такой результат:

если главный вектор внешних сил равен нулю и центр масс системы неподвижен, то сумма произведений масс точек системы на их перемещения равна нулю.

Для частного случая (26) будет

если.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. На наклонной поверхности тележки установлено и удерживается неподвижно тело массы m. Тележка движется поступательно по горизонтальным рельсам с ускорением а. В некоторый момент тело отпускают, и оно без начальной скорости начинает скользить вниз. Угол наклона поверхности к горизонту равен α. Считая поверхность тележки идеально гладкой, а тело – материальной точкой, найти закон движения тела по тележке. Определить также, при каком ускорении а тележки тело сможет оторваться от её поверхности?

РЕШЕНИЕ. Выбираем связанную с тележкой систему координат Axy, а тело изображаем в произвольном положении.

Изображаем действующие на тело активные силы и реакцию поверхности.

Так как система координат Axy – неинерциальная (вместе с тележкой движется поступательно с ускорением а), то добавляем переносную силу инерции.

Кориолисова сила инерции в данном случае равна нулю, т.к. система Axy вместе с тележкой движется поступательно и, следовательно,.

Дифференциальное уравнение (5) запишется в виде

Проектируя это равенство на оси координат, получим:

Учитывая, что, и обозначая, получим

Из полученных равенств следует, что ускорение тела относительно ускоряющейся тележки больше ускорения этого тела относительно неподвижной тележки:

а давление тела на поверхность меньше

Из первого полученного уравнения при нулевых начальных условиях () сразу находим закон движения тела по тележке:

В момент отрыва от поверхности её реакция, тогда из второго равенства следует

Следовательно, при ускорении тележки, равном

тело оторвётся от поверхности тележки.

Пример 2. Призма1 с массой m ₁ установлена на горизонтальную плоскость. На верхнюю точку наклонной гладкой грани призмы устанавливается точечное тело массы m ₂. Сначала тело и призма удерживаются неподвижно, затем тело отпускается и под действием силы тяжести начинает скользить вниз, достигая в некоторый момент нижнего положения. Длина горизонтальной грани призмы равна, угол наклона грани к горизонту равен α.

Решить следующие задачи.

1) Горизонтальная плоскость – идеально гладкая. На сколько и в какую сторону сдвинется призма за время движения тела в нижнее положение?

2) На горизонтальную плоскость поставлен упор, не позволяющий сдвигаться призме. Найти давление призмы на упор. Горизонтальная плоскость считается снова идеально гладкой. Найти также вертикальное давление призмы на плоскость (реакцию горизонтальной плоскости).

3) Горизонтальная плоскость является шероховатой с коэффициентом трения скольжения f. Найти минимальное значение этого коэффициента f, при котором призма не сдвинется с места.

При решении всех задач для простоты считать, что.

РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ. Выбираем систему координат и изображаем тело в произвольном положении.

Изображаем внешние силы (механическая система состоит из призмы и тела).

Дифференциальное уравнение движения центра масс системы (23)

проектируем на ось Ox

Отсюда

Имеем частный случай закона сохранения (26), поэтому можем записать

Сделаем предположение о направлении смещения призмы: – влево на величину. Тогда

Находим смещение тела 2 –. Для этого рассмотрим рисунок.

Очевидно, что

Из рисунка понятно, что

Следовательно,

Подставив эти выражения для перемещений в равенство, находим

отсюда

При получим

Таким образом, призма сдвинется влево (ответ положительный) на указанную величину.

РЕШЕНИЕ ВТОРОЙ ЗАДАЧИ. Пусть теперь установлен упор, не позволяющий призме перемещаться.

Выбираем систему координат, изображаем тело 2 в произвольном положении и показываем все внешние силы:

Дифференциальное уравнение движения центра масс

проектируем на оси Ox и Oy:

Учитывая, что призма теперь неподвижна в горизонтальном направлении и не подпрыгивает над плоскостью, будем иметь

Следовательно, получим

Для определения проекций ускорения второго тела рассмотрим его движение относительно неподвижной призмы:

Имеем:

Поэтому

Подставив эти выражения в полученные ранее соотношения, из дифф. уравнений движения центра масс найдём:

РЕШЕНИЕ ТРЕТЬЕЙ ЗАДАЧИ. Аналогично решению второй задачи (здесь вместо действует сила трения)

будем иметь

Условием того, что призма не сдвинется с места, является неравенство

т.е. в силу дифф. уравнения в проекции на ось Ox

Выражения для и N были получены ранее при решении второй задачи. Подставив их в полученное выше неравенство, находим

Дата добавления: 2014-01-05