Э л л и п с

Эллипс - геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ той же плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2а и большая, чем расстояние между фокусами 2с.

Выведем уравнение эллипса, исходя из данного определения.

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокусы эллипса F₁ и F₂. Ось ординат проведем через середину отрезка перпендикулярно F₁ F₂ ему.

Пусть M(x,y) - произвольная точка эллипса. Расстояния от любой точки M(x,y) эллипса до фокусов называются ее фокальными радиусами. r1 =F1M; r2=F2M – фокальные радиусы. Согласно определению эллипса сумма F1M+F2M=2a.

Тогда координаты точек эллипса удовлетворяют уравнению

Уединяя один из радикалов, возводим обе части уравнения в квадрат:

Снова возведем обе части уравнения в квадрат и приведем подобные члены:

По определению эллипса , поэтому – положительное число. Обозначим его через , положим , т.е. . После деления на уравнение примет вид:

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Из уравнения видно, что эллипс симметричен относительно осей OX, OY и начала координат, так как вместе с точкой (x,y) ему принадлежат и точки (-x,-y), (-x, y), (x, -y). Эллипс пересекает оси координат в точках А (а;0), С(-а;0) (это точки пересечения с осью OX), В(0;b), D(0;-b) (это точки пересечения о осью OY). Точки пересечения с осями координат называются вершинами эллипса. Отрезок АС называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Длина большой оси равна 2а, длина малой оси равна 2b. Числа а и b называют полуосями эллипса.

Из уравнения следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т.е. имеют место неравенства: и или и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми и . В каноническом уравнении эллипса сумма неотрицательных слагаемых и равна 1. При возрастании одного слагаемого, другое будет уменьшаться, т.е. если возрастает, то уменьшается и наоборот. Значит, эллипс имеет форму, изображенную на рисунке (овальная замкнутая кривая).

Точки А,С, В,D –вершины эллипса. АС=2а – большая ось эллипса, BD=2b – малая ось эллипса, АО=а – большая полуось эллипса, ОВ=b – малая полуось эллипса. F1M и F2M – фокальные радиусы.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами к длине большой оси. Обозначив эксцентриситет через , получим Эксцентриситет характеризует вытянутость эллипса, так как выражается через отношение его полуосей: . Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс будет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

и .

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

и

Если r – расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса F, d – расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса: .

Из равенства следует, что . Если же , то уравнение определяет эллипс, большая ось которого 2b лежит на оси Оу, а малая ось 2а – на оси Ох. Фокусы такого эллипса находятся в точках и , где .

Пример 1. Доказать, что уравнение является уравнением эллипса. Найти координаты фокусов и фокальное расстояние.

Разделив обе части уравнения на 6400, получим: . Это уравнение является каноническим уравнением эллипса. Из равенства следует, что и с=6. Фокусы эллипса будут находиться в точках и . Фокальное расстояние

Пример 3. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2c = , таким образом, a² – b² = c² = ½. По условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Итого: .

Дата добавления: 2014-01-05