Элементы выпуклого анализа. Субдифференциал

Выпуклые задачи

Пусть X – линейное нормированное пространство. Для простоты .

Свойства нормы (определение):

а)

б)

в) .

Множество называется выпуклым, если элемент .

Надграфиком функцииназывается множество .

Функция называется выпуклой, если надграфик − выпуклое множество.

Функция называется собственной если и .

Мы рассматриваем выпуклые собственные функции.

Функция выпукла тогда и только тогда (можно использовать как альтернативное определение), когда выполнено неравенство Йенсена:

Теорема. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема. Тогда она выпукла тогда и только тогда, когда . (Для многомерных функций – неотрицательно определенный гессиан).

Вектор называется субградиентом функции в точке , если

Геометрический смысл: график функции в пространстве переменных лежит не ниже графика линейной функции , причем в точке оба графика пересекаются.

Сопряженным пространством называется пространство линейных непрерывных функционалов на X

Субдифференциалом выпуклой функции в точке называется следующее множество в сопряженном пространстве :

Множество всех субградиентов функции в точке называют субдифференциалом в точке .

Теорема о субдифференциале суммы. Пусть − выпуклые функции на X. Существует точка , в которой функция конечна, а функция непрерывна. Тогда

Функция p называется сублинейной, если

а)

б)

Очевидно, что сублинейнвя функция является выпуклой. Нетрудно видеть, что надграфик сублинейной функции – выпуклый конус.

Множество называется выпуклым конусом, если

a) .

b) .

Теорема. Пусть − сублинейные функции, функция – непрерывна, функция – замкнута. Тогда в точке

Теорема Дубовицкого-Милютина. Пусть – непрерывные выпуклые функции на X, . Тогда

Для сублинейных функций

– выпуклая оболочка множества – пересечение всех выпуклых множеств в , которые содержат в себе .

Дата добавления: 2014-01-05