Определение, изображение комплексных чисел. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Комплексные числа

На множестве С вводятся понятия функции, предела таким образом, что соответствующие понятия действительного анализа рассматриваются как част­ный случай. Естественно, при этом сохраняются известные свойства функций действительного переменного: теоремы о пределах, правила дифференцирования, формулы интегрирования и т.д. Однако, благодаря расширению класса функций, частым случаем которых являются функции действительного переменного, по­являются новые свойства. Например, доказывается, что из существования произ­водной функции следует существование ее производных n-го порядка в области. Устанавливается, что все элементарные функции связаны между собой: тригоно­метрические функции выражаются через показательную функцию, а обратные тригонометрические - через логарифмическую. Значительно глубже, чем в анали­зе функций действительного переменного, развита геометрическая теория - кон­формные отображения. Благодаря сочетанию аналитических и геометрических методов теория функций комплексного переменного находит широкое примене­ние в других разделах математики и прикладных задачах.

Комплексным числом z называется выражение вида

z = x + iy, где х и у – действительные числа, а i – так называемая мнимая единица, i= -1.

Если х = 0, то число 0 + iy = iy называется чисто мнимым; если у = 0, то число х + i0 = х отождествляется с действительным числом х. Число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается х = Re z, а у – мнимой частью z и обозначается у=Im z. Запись числа z в виде z = x + iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Два комплексных числа Z= x+ iyи Z= x+ iyназываются равными (Z= Z) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и их мнимые части: x= x, y= y. В частности, комплексное число Z = x + iy равно нулю тогда и только тогда, когда х = = у = 0.

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Пример 1. При каких действительных значениях х и у выполняются равенства:

а) x (2 – i) + y (2i – 1) = 4 – 5i;

б) ix+ (3 – i) x – (1 – 2i) y = 2 + 2i?

3. Два комплексных числа z = x + iy и = x – iy, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Например: 1 + i и 1 – i; 2i и –2i.

Комплексные числа, отличающиеся знаком действительной и мнимой частей, называются противоположными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М(х;у) плоскости Оху такой, что x = Re z, y = Im z. Ось OX называется действительной, ось OY-мнимой. И, наоборот, каждую точку М(х;у) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy. Комплексное число Z можно задавать с помощью радиус-вектора = = .

Пример 2. Изобразить геометрически следующие комплексные числа и им сопряженные: а) 3; б) 2i; в) –2-3i; г) 1 + 2i.

Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается или r: r = . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или . Arg z = arg z + 2, - любое целое число; arg z – главное значение аргумента,

-< arg z ≤ p. Аргумент определяется из формулы: tg

Так как , то из формулы: получаем, что

Если точка z лежит на действительной или мнимой оси, то arg z можно найти непосредственно.

Пример 3. Найдите модуль и главное значение аргумента следующих комплексных чисел: а) ; б) –3i.

Суммой двух комплексных чисел Z= x+ iyи Z= x+ iy называется комплексное число, определяемое равенством

Свойства сложения комплексных чисел:

Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Если то

Произведением комплексных чисел Z= x+ iyи Z= x+ iyназывается комплексное число, определяемое равенством: Заметим, что - действительное число.

Свойства умножения комплексных чисел:

Например:

9. Деление определяется как действие, обратное умножению. Если

то

На практике частное двух комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю («избавляются от мнимости в знаменателе»).

2. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

1. Рассмотрим комплексное число z в алгебраической форме: . Изобразим это число на комплексной плоскости в виде вектора .Рассмотрим , где .

Пусть r - модуль комплексного числа z; -один из его аргументов (любой). Тогда из следует, что . Откуда число z запишется в виде: . Представление числа z в виде: называется тригонометрической формой комплексного числа z.

Пример 1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа .

Пример 2. Записать числа в тригонометрической форме

2. Пусть , ,

Тогда ,

.

Пример 3. Найти произведение чисел

и .

Пример 4. Записать в тригонометрической форме комплексное число .

3. Пусть , тогда (формула Муавра), где .

Пример 5. Вычислить. .

4. Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое комплексное число W (обозначается ), если .

Все значения корня n-ой степени из содержатся в формуле

(1), где k=0,1,2,…,n-1.

Пример 6.Найти все значения:

a) ; б) ; в) .

Пример 7. Записать число в алгебраической форме при условии, что действительные части корней и отрицательны.

Дата добавления: 2014-01-05