Углы между прямыми

Между фигурами

Определение углов

Фигуры пространства: прямые линии, плоскости, прямые и плоскости могут образовывать между собой углы – геометрические фигуры с соответствующими этим фигурам величинами. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в начертательной геометрии углы.

Приведем известные из школьного курса стереометрии понятия и определения, необходимые для решения последующих метрических задач:

1) плоский угол – фигура, образованная двумя лучами с общим началом и одной

из плоских областей, ограниченной ими;

2) угол между пересекающимися прямыми – величина наименьшего из плоских

углов, образованных этими прямыми;

3) угол между скрещивающимися прямыми – это угол между пересекающимися

прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

В последнем определении величина угла между двумя скрещивающимися прямыми не зависит от выбора пары пересекающихся прямых, параллельных им. Рассмотрим несколько задач на определение углов.

Задача. Даны пересекающиеся отрезки АВ и АС (рис. 9.1). Определить угол между ними.

Поскольку искомый угол является плоской фигурой, то решение задачи сводится к определению НВ плоской фигуры. Ее проекционное решение изложено в п. 1. Напомним алгоритм этого решения. Он основан на методе замены плоскостей проекций и применительно к условиям данной задачи может быть следующим:

1) строится линия уровня, например, h(h₁,h₂), принадлежащая плоскости Σ(АВ, АС), при этом h₂ // х;

2) строится ось проекции x₁^ h₁ , что соответствует введению в пространстве новой системы плоскостей проекций П₁, П₄, где П₄ ^ h;

3) на П₄ строится вырожденная проекция В₄С₄ плоскости Σ;

4) строится ось проекции x₂ // В₄С₄ , что соответствует введению в пространстве

новой системы плоскостей проекций П₄ , П₅ , где П₅ // Σ;

5) на П₅ строится угол Ð(А₅С₅ , А₅В₅ ) = a, который и является искомым.

Задача. Даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD (рис. 9.2). Определить угол между ними.

Решение задачи выполним, опираясь на определение угла между скрещивающимися прямыми, приведенное выше, а также учитывая алгоритм проекционного решения предыдущей задачи. Для этих целей переместим одну из прямых, например DC, в положение, когда она, оставаясь параллельной самой себе, будет пересекать другую прямую АВ. Таких положений существует бесчисленное множество. Одно из них, например D¹C¹ (D₁¹C₁¹ , D₂¹C₂¹ ), где D₁¹С₁¹ // D₁С₁ , D₂¹С₂¹ = D₂C₂ , показано на КЧ (см. рис. 9.2). В итоге получаем пару пересекающихся прямых АВ Ç D¹С¹ , угол между которыми может быть определен на основании вышеприведенного алгоритма.

Эту часть решения задачи рекомендуется выполнить самостоятельно.

Рассмотрим еще одно проекционное решение данной задачи. Смысл его заключается в построении такой дополнительной плоскости проекций, на которой ортогональные проекции заданных скрещивающихся прямых суть пересекающиеся прямые, соответственно параллельные этим скрещивающимся прямым. Угол между такими ортогональными проекциями является искомым. Указанная плоскость проекций перпендикулярна прямой кратчайшего расстояния между заданными скрещивающимися прямыми.

Задача. Даны скрещивающиеся прямые АВ и CD. Определить угол между ними

(рис. 9.3).

Проекционное решение этой задачи, в соответствии с предложенной выше схемой, будет следующим:

1) строится ось проекции x₁ // C₁D₁ (x₁ можно строить параллельно любой из четырех ортогональных проекций прямых АВ и CD), которая вместе с плоскостями П₁ , П₄ образует новую систему плоскостей проекций, такую, что П₄ // CD;

2) на П₄ строятся дополнительные проекции А₄В₄ , C₄D₄ прямых АВ и CD, при этом C₄D₄ есть НВ отрезка CD;

3) строится ось проекции x₂ ^ C₄D₄ , которая вместе с П₄ , П₅ образует новую систему плоскостей проекций, такую, что П₅ ^CD;

4) на П₅ строятся дополнительные проекции А₅В₅ и C₅ = D₅ прямых АВ и CD;

5) строится ось проекции x₃ // А₅В₅ , которая

вместе с П₅, П₆ образует новую систему плоскостей проекций, такую, что П₆ // AB;

6) на П₆ строятся дополнительные проекции

А₆В₆ и C₆D₆ , представляющих собой НВ прямых АВ и CD и образующих между собой угол a, являющийся решением задачи.

Дата добавления: 2014-01-05