КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Примеры составления уравнений линии
Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение (3), (это тоже неявное уравнение) которому удовлетворяют полярные координаты и всех точек этой линии и только координаты таких точек. О понятии линии и ее уравнениях. I. ЛИНИЯ И ЕЕ УРАВНЕНИЯ. ЛЕКЦИЯ 1 ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ И ИХ УРАВНЕНИЯ. Определение I. Уравнением линии в декартовой системе координат называется уравнение F (x, y)=0, (1) (это неявное уравнение линии) которому удовлетворяют координаты х, у всех точек этой линии и только координаты таких точек. В частности, уравнение линии может иметь вид y = f (x) (явное уравнение) (2). В частности, уравнение линии в полярных ко-ординатах может иметь вид (явное) (4). Определение II. Параметрическими уравнениями линии в декартовой системе координат называются уравнения вида , где функции x (t) и у (t) имеют одну и ту же область определения, каждому значению t из этой области соответствует точка M (x (t) ,y (t)) рассматриваемой линии и каждая точка М этой линии соответствует некоторому значению t из области определения функций x (t) и y (t), т. е. для любой точки М линии найдется такое значение t, что x (t) и y (t) будут координатами точки М. Аналогично определяются параметрические уравнения линии в полярных координатах. Пример 1. Рассмотрим окружность S радиуса r с центром в точке C (a, b) заданной относительно декартовой прямоугольной системы координат (рис. 46) Пусть М (x, y) - произвольная точка плоскости. Точка М лежит на окружности рис. 46 рис. 47 S тогда и только тогда, когда расстояние между точками М и С равно радиусу r окружности S. Расстояние между точками М и С равно ,поэтому уравнение окружности S имеет вид , или (1), или (1'). В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид (рис.47) ; (2), (2').
Уравнения (1') и (2') называются нормальными уравнением окружности. Пример 2. Составить уравнение линии, произведение расстояний любой точки которой до двух данных точек F 1 и F 2 равно данному числу b 2. Решение. Пусть расстояние между точками F 1 и F 2 равно 2 а. За начало О декартовой прямоугольной системы координат на плоскости примем середину отрезка F 1 F 2, а прямую F 1 F 2 с положительным направлением от О к F 2 примем за ось Ох. Точка F 1 в выбранной системе координат имеет координаты: (- а, 0), а точка F 2 - (а, 0). Согласно условию задачи или . Применяя формулу расстояния между двумя точками, находим, и соотношение принимает вид: , Линии, определяемые этим уравнением, называются овалами Кассини. Изображения их (для случаев a > b, а = b, а < b) даны на рис. 48. Если а = b, Рис. 48 т. е. если произведение расстояний от точки М до точек F 1 и F 2, равно квадрату половины расстояния между точками F 1 и F 2, то овал Кассини называется лемнискатой Бернулли (рис. 49). Уравнение лемнискаты имеет вид . Составим уравнение лемнискаты еще в полярной системе координат, принимая точку О за полюс, а положительную полуось Ох за полярную ось. Заменяя в уравнении лемнискаты х и у их выражениями через полярные координаты получим или . При изменении от до 0 функция возрастает от 0 до , а при изменении от 0 до - эта функция убывает от до 0; получается петля, расположенная в первой и четвертой четвертях; при изменении от до получается другая петля, расположенная во второй и третьей четвертях, симметричная первой относительно полюса.
Значениям , для которых соответствуют мнимые значения функции , следовательно, этим значениям не соответствуют никакие точки лемнискаты. Что касается построения овалов Кассини, то точки этих линий удобнее всего строить, исходя из геометрического определения линии. Уравнения линий иногда удобно составлять в полярной системе координат. Рассмотрим следующий пример линии . Подумайте, что это за линия.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1373; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |