Линия в пространстве может быть задана двумя уравнениями

Линия в пространстве и ее уравнения.

F (х,у,z) = 0, Ф (х,у,z) = 0 (1)

поверхностей, пересекающихся по этой линии. Линию в простран­стве иногда задают параметрически:

x=x(t), y=y(t), z=z(t), (2)

причем параметрические уравнения линии в пространстве опреде­ляются так же, как и параметрические уравнения линии на пло­скости.

Если поверхность S задана параметрически:

x=x (u,), y=y (u,), z=z (u,), (3)

то линию С, лежащую на этой поверхности, часто определяют одним уравнением f (u,) = 0 (в частности и=и () или = (u)) между криволинейными координатами и и . Уравнение f (u,)=0, (4) называется уравнением линии С, если любая пара значений и, , удовлетворяющая уравнению (4), не выходит из общей области определения D функций х (и,), у (и,) и z (и,), а точка М с коор­динатами х (и,), у (и,), z (и,) лежит на линии С. Обратно, для любой точки М линии С найдется "пара чисел и, , входящая в область D и такая, что f (и,)=0, а х (и,), у (и,), z (и,) - координаты точки М.

В частности, линии, выражаемые уравнениями u=C ₁, =C ₂, где C ₁ и C ₂ — постоянные, называются координатными линиями поверхности S, заданной параметрическими уравнениями (3). Вместо одного уравнения (4) линию С на поверхности S задают и пара­метрически (в криволинейных координатах и, ):

u=u(t), = (t). (5)

Эти два уравнения называются внутренними уравнениями линии, лежащей на поверхности S, заданной уравнениями (3), если функции u (t) и (t) имеют общую область определения D ₁, любому числу t из области D ₁ соответствует пара чисел u (t), (t), не выходящих из области D и таких, что точка M [ x (u (t), (t)), y (u (t), (t)), z (u (t), (t))] лежит на линии С. Обратно, для любой точки М линии С существует число t, обладающее указанным свойством.

Дата добавления: 2014-01-05