КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Цилиндрические и конические поверхности
1. Цилиндрические поверхности.
Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная параллельными между собой прямыми , называемыми, ее образующими. Если какая-нибудь плоскость, пересекающая все образующие цилиндрические поверхности, пересекает ее по линии С, то эта линия называется направляющей этой цилиндрической поверхности. Теорема 1. Если в пространстве введена общая декартова система координат, и уравнение F (x,у)=0 в плоскости хОу является уравнением некоторой линии С, то это уравнение в пространстве есть уравнение цилиндрической поверхности П с направляющей
Рис.61 Рис. 62 Рис. 63 линией С, а образующие параллельны оси Оz (рис. 61). Доказательство. Точка М (х,у,z) лежит на цилиндрической поверхности П тогда и только тогда, когда проекция М' (х,у, 0) точки М на плоскость хОу параллельно оси Оz лежит на линии С, т. е. тогда и только тогда, когда выполняется уравнение F (х,у) =0. Теорема 2 (обратная). Если П - цилин-дрическая поверхность, направляющей которой является плоская линия С, а образующие поверхности П параллельны некоторой прямой , не лежащей в плоскости линии С, то существует система координат, в которой уравнение поверхности П имеет вид F (x, у)=0. Доказательство. Введем общую декартову систему координат Охуz, совмещая плоскость хОу с плоскостью, в которой расположена линия С, и принимая за ось Оz - ось, параллельную прямой l. Пусть F (х,у) = 0 уравнение линии С в плоскости хОу. На основании предыдущей теоремы это уравнение в пространстве во введенной системе координат является цилиндрической поверхностью П. Замечание 1. Аналогичные заключения имеют место для уравнений вида F (у,z)=0 и F (z, х) = 0 (рис. 62 и 63).
Замечание 2. Если линия С на плоскости хОу задана параметрическими уравнениями х=х (и), у=у (и), то параметрические уравнения поверхности П с направляющей С, образующие которой параллельны оси Оz, можно записать в виде х=х (и), у=у (и), z= . Пример 1. Уравнение в декартовой прямоугольной системе хОу на плоскости является уравнением окружности С с центром в точке (), и радиусом а. Если ввести ось Оz, не лежащую в плоскости хОу, то в полученной общей декартовой системе координат Oxyz это же уравнение в пространстве является уравнением наклонного цилиндра, образующие которого параллельны оси Оz, а направляющая - окружность С. Сечения этой цилиндрической поверхности плоскостями, параллельными плоскости хОу - окружности, по-лученные переносом окружности С вдоль оси Оz. Пример 2. Уравнение , где , в декартовой прямоугольной системе координат хОу на плоскости является уравнением параболы С. Присоединяя ось Оz, не лежащую в плоскости хОу, получим пространственную систему координат Охуz, относительно которой уравнение является уравнением цилиндра, направляющая которого - парабола С, а образу-ющие параллельны оси Оz (параболический цилиндр).
2. Конические поверхности. Определение 1. Конической поверхностью называется поверхность, образованная множеством прямых , проходящих через одну точку S, называемую вершиной этой поверхности. Прямые называются образующими конической поверхности. Если какая-нибудь плоскость, не проходящая через вершину конической поверхности и пересекающая все ее образующие, пересекает коническую поверхность по линии С, то эта линия называется направляющей конической поверхности. Определение 2. Функция F(x,у,z) называется однородной, если она обладает следующими свойствами: 1) если точка (х,у,z) входит в область опреде-ления функции F(x,у,z), то точка (kx,ky,kz), где k-любое число, также входит в область определения этой функции;
2) существует такое число п, что для любой точки (х,у,z) из области определения функции F(х,у,z) и для любого числа k выполняется соотношение F (kx,ky,kz) =k n F (x,у,z). Число п называется показателем однородности. Теорема. Если уравнение F (х,у,z) = 0, где F (х,у,z) - однородная функция, в декартовой системе координат является уравнением поверхности К, то эта поверхность коническая, причем вершина конуса лежит в начале координат. Доказательство. Если точка М (х,у,z) (отличная от начала координат) лежит на поверхности, заданной уравнением F (x,у,z) = 0, то на той же поверхности лежит точка (kx,ky,kz), где k - любое число. В самом деле, F (kx,ky,kz) =knF (x,у,z)=0.(1) Если k принимает все действительные значения, то точка (kx,ky,kz) описывает всю прямую, проходящую через точку М и начало координат О, так как точка (kx,ky,kz) в случае делит направленный отрезок в отношении . Действительно, вычисляя координаты делящей точки по формулам § 13, получим. Начало координат (в случае п > 0) также принадлежит поверхности, заданной уравнением F (х,у,z)=0, так как, полагая в соотношении (1) k =0, получим F (0,0,0)=0. Таким образом, если на поверхности К лежит какая-нибудь точка, не совпадающая с началом координат, то на ней лежит вся прямая, проходящая через эту точку и начало координат. Итак, поверхность образована прямыми, проходящими через начало координат, т. е. является конической поверхностью с вершиной в начале координат.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1898; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |