Вычисление координат вектора по координатам его начала и конца

Связь между операциями над векторами и их координатами

Предложение 1. При сложении векторов их соответствующие координаты склады­ваются, при умножении на скаляр координаты вектора умножаются на этот скаляр.

Это можно сформулировать ещё так: абсцисса (ордината, аппликата) суммы двух векторов равна сумме абсцисс (ординат, аппликат) данных векторов. Аналогично для умножения на скаляр.

Доказательство проведём для простоты для плоского случая. Итак, пусть даны два вектора a = { x ₁; y ₁} и b = { x ₂; y ₂}. Мы хотим доказать, что a + b = { x ₁ + x ₂; y ₁ + y ₂}. В самом деле,

{ x ₁ + x ₂; y ₁ + y ₂} = (x ₁ + x ₂) e ₁ + (y ₁ + y ₂) e ₂ = (x ₁ e ₁ + x ₂ e ₁) + (y ₁ e ₂ + y ₂ e ₂) =

= (x ₁ e ₁ + y ₁ e ₂) + (x ₂ e ₁ + y ₂ e ₂) = { x ₁; y ₁} + { x ₂; y ₂} = a + b,

QED. Доказательство для случая умножения на скаляр, а также доказательство обоих утверждений предложения для трёхмерного случая предоставляю читателю.

Предложение 2. Координаты вектора, соответствующего данному направленному отрезку, равны разности соответствующих координат конца и начала этого отрезка.

Другими словами, если даны точки A = (x ₁; y ₁; z ₁) и B = (x ₂; y ₂; z ₂), то = { x ₂ − x ₁; y ₂ − y ₁; z ₂ − z ₁}. Докажем это.

Обозначим (неизвестные пока) координаты вектора через {α; β; γ}. Имеем равен­ство +=(O − начало координат). Координаты вектора равны { x ₁; y ₁; z ₁} (по определению координат точки), аналогично = { x ₂; y ₂; z ₂}. В силу предложения 1 имеем:

{ x ₂; y ₂; z ₂} = { x ₁; y ₁; z ₁} + {α; β; γ} = { x ₁ + α; y ₁ + β; z ₁ + γ}.

Таким образом,

x ₂ = x ₁ + α; y ₂ = y ₁ + β; z ₂ = z ₁ + γ

(координаты вектора определяются единственным образом), откуда α = x ₂ − x ₁, β = y ₂ − y ₁ и γ = z ₂ − z ₁, QED.

Дата добавления: 2014-01-05