Деление отрезка в данном отношении. Постановка задачи. Пусть в пространстве (на плоскости) даны две различные точки A и B

Постановка задачи. Пусть в пространстве (на плоскости) даны две различные точки A и B. Тогда однозначно определена проходящая через них прямая l. Возьмём те­перь произвольную точку C на этой прямой с единственным условием C ≠ B. Тогда вектор будет коллинеарен вектору , и при этом ≠ 0. В силу предложения о двух колли­неарных векторах из п. 1.1.2нцао отрезка.

ваются. (лекция № 2 от 08.09.09) существует, и притом единствен­ное, число λ такое, что = λ.

Определение. В описанной ситуации говорят, что точка C делит отрезок AB (но не BA!) в отношении λ.

Иногда это выражают в виде равенства

λ =

Надо только иметь в виду, что в этой формуле берутся не длины, а величины отрезков AC и CB. Если отрезки AC и CB одинаково направлены, то этому отношению присваивается знак плюс, если противоположно направлены − знак минус. Так получается варьянт опре­деления, эквивалентный вышеприведённому.

Заметим, что λ положительно, если точка C лежит на прямой l между точками A и B, и оно отрицательно, если точка C лежит на прямой l вне отрезка AB. Если C = A, то λ = = 0. При λ = 1 имеем середину отрезка. Можно доказать, что λ принимает любые значения, кроме −1 (мы этого доказывать не будем).

Задача. Даны координаты точек A и B и число λ. Требуется найти координаты точки C.

Решение. Сначала решим задачу в векторном виде. Пусть O − сначала произволь­ная точка пространства (плоскости). Имеем:

+=;

=−;

=+=+ λ=+ λ(−);

(1 + λ) =+ λ;

(Как было сказано выше, λ не может равняться −1.) Последнее равенство можно считать решением нашей задачи в векторном виде.

Пусть теперь O − не произвольная точка, а начало координат. Пусть также

A = (x ₁, y ₁, z ₁), B = (x ₂, y ₂, z ₂), C = (x *, y *, z *).

Тогда

x * = absc. C = absc. ==

==

Аналогично для других координат. Окончательно имеем формулы:

x * =

y * =

z * =

Для середины отрезка, т. е. для случая λ = 1, имеем особенно простые формулы:

x * =

y * =

z * =

т. е. мы доказали

Предложение. Координаты середины отрезка суть средние арифметические соот­ветствующих координат концов этого отрезка.

Дата добавления: 2014-01-05