Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема существования и единственности задачи Коши




Рассмотрим предварительно метод приближенного решения дифференциальных уравнений, обоснование которого будет дано в приведенной ниже теореме.

 

Метод Эйлера.

 

Метод Эйлера заключается в том, что искомая интегральная кривая уравнения (16.2), проходящая через точку (х0, у0), заменяется ломаной, каждое звено которой касается интегральной кривой в одной из своих граничных точек (рис. 3).

 

у

h

h

y0 y1 y2

O x0 x1 x2 x

 

Рис. 3

 

Пусть требуется найти приближенное значение искомого решения при x = b. Разделим отрезок [ x0,b ] на п равных частей (полагаем, что b > x0) и назовем шагом вычисления h длину отрезка [ xi-1, xi ]. Заменим на отрезке [ x0, x1 ] интегральную кривую отрезком ее касательной в точке (х0, у0). Ордината этого отрезка при х = х1 равна y1 = y0 + hy0΄, где у0΄ = f(x0,y0). Так же найдем

y2 = y1 + hy1΄, где y1΄= f(x1,y1);

y3 = y2 + hy2΄, где y2΄= f(x2,y2);

..........................

yn = yn-1 + hy΄n-1, где n-1 = f(xn-1,yn-1).

 

Можно предположить, что при построенные таким образом ломаные Эйлера приближаются к графику искомой кривой. Доказательство этого утверждения будет дано в следующей теореме:

 

Теорема 16.1 (теорема существования и единственности решения). Если в уравнении

функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике D:

(16.5)

и удовлетворяет в D условию Липшица:

| f(x, y1) – f(x, y2) | ≤ N | y1 – y2 |, (16.6)

где N – постоянная, то существует единственное решение ,уравнения (16.2), удовлетворяющее условию (16.3), где

в D.

 

Замечание 1. Нельзя утверждать, что искомое решение будет существовать при , так как интегральная кривая может выйти из прямоугольника (16.5), и тогда решение может быть не определено.

Замечание 2. Условие Липшица (16.6) можно заменить более сильным требованием в D. Тогда по теореме Лагранжа , где . Таким образом, и . Поэтому .

 

Доказательство теоремы 16.1.

Заменим уравнение (16.2) с начальным условием (16.3) эквивалентным интегральным уравнением . (16.7)

Легко проверить, что функция, обращающая в тождество уравнение (16.2), будет решением и уравнения (16.7).

Построим ломаную Эйлера у = уп(х), исходящую из точки (х00) с шагом на отрезке [ x0, x0 + H ] (аналогично можно доказать существование решения на [ x0 – H, x0 ]). Такая ломаная не может выйти за пределы D, так как угловые коэффициенты каждого ее звена по модулю меньше М. Теперь докажем последовательно три утверждения:

1) Последовательность у = уп(х) равномерно сходится.

2) Функция является решением интегрального уравнения (16.7).

3) Решение уравнения (16.7) единственно.

 

Доказательство 1). По определению ломаной Эйлера

при , или . (16.8)

Обозначим , тогда в силу равномерной непрерывности f(x) в D (16.9)

при , где при , так как , а и при . Интегрируя (16.8) по х в пределах от х0 до х и учитывая, что , получим:

. (16.10)

Так как п – любое целое положительное число, то для любого m > 0

, откуда

.

Тогда из (16.9) и условия Липшица следует, что

. Следовательно,

, откуда

при , то есть последовательность непрерывных функций уп(х) равномерно сходится при к непрерывной функции . Итак, утверждение 1) доказано.

Доказательство 2). Перейдем в (16.10) к пределу при :

. (16.11)

В силу равномерной сходимости уп(х) к и равномерной непрерывности f(x,y) в D последовательность f(x,yn(x)) равномерно сходится к f(x, ). Действительно, при , что выполняется при .

Следовательно, возможен переход к пределу под знаком интеграла. Учитывая, что , где при , получим из (16.11):

,

то есть удовлетворяет уравнению (16.7). Утверждение 2) доказано.

Доказательство 3). Предположим, что существуют два различных решения уравнения (16.7) у1(х) и у2(х), то есть | y1(x) – y2(x) | ≠ 0. Тогда, подставляя эти функции в (16.7) и вычитая полученные равенства друг из друга, получим:

, откуда

| y1(x) – y2(x) | =

.Применим к этому неравенству условие Липшица: | y1(x) – y2(x) |≤ N | y1(x) – y2(x) |

= NH | y1(x) – y2(x) |. Если| y1(x) – y2(x) | ≠ 0, то полученное равенство: | y1(x) – y2(x) | ≤ NH | y1(x) – y2(x) | противоречиво, так как по условию теоремы . Следовательно, | y1(x) – y2(x) | = 0, то есть у1(х) ≡ у2(х).




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 397; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.