Операции над полиномами

Рассмотрим полином вида P_n(x)=p₁xⁿ+p₂x^n-1+...+p_nx+a_n+1. Соответственно будем обозначать Р - n+1-мерный вектор коэффициентов, Х - массив значений аргумента.

При вычислении значений полинома для элементов массива можно использовать функцию polyval(P,X):

>>polyval([1 2 5],[0 3 1])

ans =

>> polyval([1 2 5],[0 3 1; 1 1 1])

ans =

С помощью функции polyvalm(P,X) можно вычислять значения матричного полинома для квадратной матрицы Х:

>> polyvalm([1 2 5],[0 3 1; 1 1 1; 0 0 2])
ans =

Умножение полиномов С_m+n(x)=P_m(x) x Q_n(x) выполняется командой C=conv(P,Q) -

Деление полиномов можно реализовать командой [C,R]=deconv(A,B), где С -частное и R - остаток от деления А на В.

>> conv([1 2 3],[5 6])

ans =

[c,r]=deconv([1 2 3],[5 6])

c =	0.2000	0.1600
r =			2.0400

Вычисление производных от полинома, произведения и отношения полиномов производится соответственно командами dp=polyder(P), dc=polyder(A,B) и [f,g]=polyder(A,B):

polyder([1 -2 3 4 5])

ans =
	-6

>> polyder([1 2 3],[5 6])

ans =

>> [f,g]=polyder([1 2 3],[5 6])

f =			-3
g =

Вычисление корней полинома реализуется функцией roots(P), а построение полинома по его корням - функцией poly(R).

>> r=roots([1 3 5 7]) r = -2.1795 -0.4102 + 1.7445 i -0.4102 - 1.7445 i

>>poly(r)

ans =
1.0000	3.0000	5.0000	7.0000

Функция poly(А) обеспечивает построение характеристического полинома |lE-A|=0 (см. проблему собственных значений):

>>P=poly(A)
P =
1.0e+002 *
0.0100	-0.1500	-0.2400	3.6000

В приложениях, особенно связанных с преобразованием Лапласа при решении дифференциальных уравнений, оперируют с отношениями полиномов и представлениями их в виде простых дробей:

где s_k - простые корни полинома Qn(s); если некоторый корень s_j имеет кратность m, то соответствующее слагаемое представляется в виде,

Команда [r,s,f] =residue(P,Q) дает разложение отношения полиномов на простые дроби (в случае близких корней возможна значительная погрешность). В случае кратного корня пользуются функцией rj=resi2(P,Q,sj,m,j), где j -номер вычисляемого коэффициента (по умолчанию j=m); по умолчанию m=1 (простой корень).

Команда [P,Q] =residue(r,s,f) выполняет обратное действие свертки разложения в отношение полиномов.

[r,s,f]=residue([1 -6 11 -6],[1 -5 4 0])
r =	0.5000	-1.5000
s =
f =

>> [A,B]=residue([0.5 0 -1.5],[4 1 0],[1])
A =	-6	-6
B =	-5

>>P=poly([1 2 3 ])
P =		-6		-6
>> Q=poly([0 0 0 6])
Q =		-6
>> [r,s,f]=residue(P,Q)
r =	0.2778	0.7222	-1.6667	1.0000
s =
f =	[]

>>r1=resi2(P,Q,0,3,1)
r1 = 0.7222
>>r2=resi2(P,Q,0,3,2)
r2 = -1.6667
>>r3=resi2(P,Q,0,3,3)
r3 = 1

8. Анализ и обработка данных 8.1. Обработка статистических данных 8.2. Численное дифференцирование 8.3. Аппроксимация и интерполяция 8.4. Численное интегрирование 8.5. Нули и экстремумы функций 8.6. Обыкновенные дифференциальные уравнения 8.1 Обработка статистических данных Никакой анализ статистических данных не может обойтись без предварительной их обработки: max (A), min(A) - поиск экстремальных элементов по столбцам массива А; max(A,B), min(A,B) - формирование массива с элементами, равными экстремальным из соответствующих элементов массивов; max(A,[ ],dim), min(A,[ ],dim) - вектор экстремальных элементов по измерению dim; [C,I]=max(...), [C,I]=min(...) - дополнительно выводится строка индексов экстремальных элементов; median(X), median (X,dim) - медианы массива; mean(X), mean (X,dim) -средние значения; std(X), std(X,flag), std(X,flag,dim) - стандартное отклонение (flag=0 -несмещенная оценка s; flag=1 - смещенная оценка s):

;

; cov(X, Y), cov(X,Y, flag) - ковариация для для массивов Х и Y (каждый столбец - переменная, строка - наблюдение)

, f=n или n-1; cov(X), cov(X,flag) - ковариация для столбцов массива Х; corrcoef (X), corrcoef (X,Y) -коэффициенты корреляции:

. 8.2. Численное дифференцирование Как известно, численное дифференцирование строится на использовании аппарата конечных разностей и соответствующего многообразия аппроксимаций. Здесь полезны функции: diff(X), diff(X, n), diff(X, n, dim) - вычисление конечных разностей (первых, n-го порядка или по указанному измерению); если Х -массив, берутся разности между столбцами:

>> F=	[ 0	0.0998	0.1987	0.2955	0.3894	0.4794]
>> D=diff(F)
D =	0.0998	0.0988	0.0969	0.0939	0.0900
>> D2=diff(F,2)
D2 =	-0.0010	-0.0020	-0.0030	-0.0039

Для задач оптимизации градиентными методами полезны функции:

gradient(F), gradient(F,h), gradient(F,h1,h2,...) -приближенная оценка градиента функции n переменных с автоматическим выбором шага или с указанным шагом (одинаковым или разным по переменным):

>> [x,y]=meshgrid(-2:0.2:2, -2:0.2:2);	% выбор сетки узлов
>> z=x.*exp(-x.^2-y.^2);	% вычисление значений на сетке
>> [px,py]=gradient(z,.2,.2);	% поиск градиента в узлах сетки
>> contour(z), hold on,quiver(px,py), hold off % рис.8.1

Рис.8.1.

Рис.8.2.