Случайные процессы и их характеристики

Любой случайный (стох) процесс может быть представлен в виде случайной функции времени x(t), т.е. функции, значение которой в любой момент времени представляет собой случайную величину (СВ).

СВ – величина, принимающая заранее неизвестные значения. Дискретным аналогом СП (или СФ) является ВР x_i=x(iT), члены которого СВ. Если СВ x(t₀) или любой член ВР имеет нормальное распределение, то статистические свойства ВР полностью определяются 4 характеристиками:

1. Математическим ожиданием - характеризует среднее значение.

2. Дисперсия - математическое ожидание квадрата отклонения СП от его МО, т.е. средний квадрат отклонения от МО (ср.зн.); , характеризует величину разброса СП от МО. Для удобства иногда используют СКО .

3. Корреляционная функция (ковариационная).

4. Спектральная плотность мощности.

Характеристики 3 и 4 содержит одну и ту же информацию о процессе во временной и частотной области, а дисперсия может быть получена из корреляционной функции. Будем считать процесс стационарным (характеристики не зависят от астрономического времени) и эргодическим (усреднение по множеству ≈ усреднению по времени). Тогда, если имеет место нормальное распределение (Гауссовский СП), справедливо правило трех сигм: С(х є М_х±3σ_х)→1.

Спектральные процессы могут иметь равные М_х, Д_х, но различаться по скорости изменения. Для характеристики скорости изменения СП (а также степени связи соседних значений СП) введено понятие автокорреляционной функции спектральных процессов.

АКФ – м.о. произведения 2-х значений СП, сдвинутых на лаг τ.

(1) *- для комплексных, для вещественных – опускается.

Физический смысл КФ – скорость изменения СП.

Если в (1) вместо абсолютного значения использовать отклонения от МО, получим ковариационную функцию:

(2)

Ковариационная функция связана с КФ через квадрат МО:

(3)

У центрированных процессов М_х=0, С_х(τ)=R_x(τ).

При нулевом лаге τ=0 С_х(0)=D_x

R_x(0)=D_x+M_x²

КФ вещественных, стационарных СП являются частными функциями τ:

R_x(τ)= R_x(-τ), а у комплексных процессов обладают свойством сопряженной симметричности: R_x(-τ)= R_x*(τ). КФ стационарных СП мотонно либо колебательно убывает:

τ=0: R_x(0)=D_x+M_x²

τ→∞: R_x→0

Физически: с ростом τ значения все менее связаны между собой. Если колебательно – периодический процесс.

Предельные случаи:

1 – белый шум;

2 – постоянная величина

3 – НЧ-процесс;

4 – ВЧ-процесс;

Белый шум – процесс, текущее значение которого не зависит от предыдущего, т.е. не коррелированны между собой. Ковариационная функция белого шума: С_х(τ)=σ_х² * δ(t) (4)

КФ реальных процессов – между 1 и 2. Чем быстрее уменьшается R_x, тем процесс более высокочастотный. Дискретный вариант АКФ:

R_x(k)=M[x_i+k x_i*] (5)

Для характеристики связи 2х СП введена взаимокорреляционная функция: R_xy(τ)=M{x(t+τ) y*(t)} (6)

R_xy(k)=M[x_i+k * y_i*] (7)

ВКФ не является четной R_xy(-τ)= R_xy*(τ)

Спектральная плотность мощности.

СПМ СП – предел отношения мощности ΔΝ СП (на выходе полосового фильтра) к ширине полосы Δω этого фильтра при Δω→0,

(8)

СПМ содержит информацию о поведении СП в частотной области, аналогичную той, которую содержит АКФ во временной.

Физически СПМ – зависимость скорости изменения мощности сигнала от частоты. Чем более низкочастотным является процесс, тем быстрее затухает СПМ.

1 – СПМ постоянной величины;

2 – СПМ НЧ-сигнала;

3 – СПМ ВЧ-сигнала;

4 – СПМ белого шума.

СПМ в частотной области соответствует АКФ во временной. Аналогично: ВКФ во временной соответствует ВСПМ, или кросс-спектр. Мощности.

Понятие кросс-спектра обычно используется для сигналов на входе и на выходе динамической системы, позволяя охарактеризовать изменения амплитуды и фазы сигнала при прохождении им динамической системы.

Способы определения спектра мощности (всего 4)

1. Коррелограммный (через ПФ КФ; коррелограмма)

(9) Винер Хингин

(10)Блэкман-Тьюки

Для кросс-спектра:

(12)

Как следует из формул, автоспектр – вещественная функция частоты, кросс-спектр в о.с. – комплексная. На практике спектр мощности рассчитывается на интервале конечной длины t_p, поэтому пределы в формулах (9) и (11) заменяют конечными: (13);

Используя формулу Эйлера , получим:

(15)

В (15) второе слагаемое =0, т.к. R_x(τ) – четное; sin – нечетное; * - нечетное; ∫ нечетен в симметричных пределах =0:

Т.о. (16)

Для вещественных данных:

(17); (18)

Используя формулу Эйлера для кросс-спектра, получим:

(19)

где (20)

(21)

P_xy – синфазная составляющая кросс-спектра; представляет собой четную функцию частоты: P_xy (ω)=P_xy(-ω)

Q_xy – квадратурная составляющая (сдвинута на 90⁰), нечетная:

Q_xy (ω) = Q_xy(-ω)

2. Периодограммный (через финитное ПФ СП): периодограмма – ПФ СП.

В данном способе СПМ:

(22)

Здесь X_tp(jω) – ПФ СП; в ос x(t) непериодична, но ее можно считать условно периодичной с периодом t_p:

Определим Xt_p как:

Для функции Xt_p(t) существует ПФ, называемое финитным, т.е.ПФ функции конечной длины: (23)

Входящий в (22) квадрат модуля ПФ СП определяется как:

(24)

Найденная по (22) оценка СПМ не является состоятельной, т.е. ее точность не увеличивается с ростом t_p. Но ее можно сделать состоятельной, если определять S_x(ω) как МО оценок, полученных для нескольких реализаций СП (т.е. использовать усреднение по множеству оценок):

(25)

Аналогично для ВСПМ:

(26)

3. Определение СПМ ПФ параметрической модели ВР.

Многие ВР удовлетворительно описываются КРУ(конечно-разностным уравнением), является дискретным аналогом ДУ:

(27)

или (28)

авторегрессия скользящая средняя

Выражения (27) и (28) представляют собой модель АРСС.

В (27) и (28) x_n - текущее значение ВР.

u_n - белый шум (шум, возбуждающий модель0 с допущениями, M_n=0, Д известно, p – порядок АР; q – порядок модели СС.

Предельные случаи: q=0 АРСС→АР; р=0 АРСС→СС

X_n

U_n

ФФ

Модель (28) может представить как сигнал на выходе формирующего фильтра, на вход которого подается белый шум: дискретная ПФункция: , (29)

где A(z) и B(z) – полиномы отрицательных степеней Z:

(30)

Все три модели (АРСС, АР, СС) можно преобразовать друг в друга, изменив порядок полиномов, АРСС →АР повышенного порядка. Параметры модели АР можно определить из системы уравнений Юла-Уолкера:

Всего р+1 уравнений

… (31)

Первое – для определения ; остальные – для определения коэффициентов. Чтобы найти значения коэффициентов, нужно знать значения лагов. После нахождения параметров АРСС можно определить СПМ: , (32)

где A(jω) и B(jω) – ПФункции (30)

4. Определение СПМ по определению (с помощью ППФ/* полосно-пропускающего фильтра */)

(33)

/*здесь не ПФ, а Х_ф */

Аналогично для оценки составляющих кросс-спектра:

(34)

(35)

здесь - отфильтрованный и сдвинутый на 90º сигнал y(t).

Экспериментальная оценка характеристик СП.

Определение Т_к.

При расчетах на ЦВМ сигналы оцифровывают x(t)→x_i=x(iT), iє[0, N-1]

С ростом N увеличивается точность расчетов, но возрастает время и объем вычислений. На практике N=10²-10⁵. Проблема выбора оптимального Т_к весьма актуальна, т.к. при слишком малом Т_к соседние значения слишком коррелированы (избыточность), при слишком большом – потеря точности представления сигнала → ошибки. Весьма распространены способы выбора величины Т_к, исходя из погрешности ступенчатой экстраполяции, представляющей собой запоминания значения сигнала на период опроса.

Исходный x(t) и экстраполированный x_э(t) связаны соотношением:

x(t)= x_э(t) + Δx(t) (1)

Ошибка Δx(t) достигает максимума в конце каждого Т опроса, а затем падает до 0.

Способ 1. Выбор Т_к по АКФ.

Если x(t) – стационарный СП с известной АКФ R_x(τ), то дисперсия ошибки ступенчатой экстраполяции:

(2)

Задавшись допустимым значением дисперсии ошибки

(3)

Найдем (4)

при

(5)

(5) можно использовать для выбора Т_к, не превышающего допустимого значения: .

Способ 2. Выбор по числу нулей («переходов через 0»), вернее через линию среднего значения: (6)

N₀ – среднее значение переходов в единицу времени.

Можно выбрать длину реализации со 100 переходами t₁₀₀, тогда ; , при .

Способ 3. Если известна частота среза f_c, используют теорему Котельникова:

. На практике .

Оценка математического ожидания и дисперсии временного ряда.

Оптимальной оценкой МО стационарного эргодического ВР является среднее арифметическое значение отсчетов:

(7)

Оптимальной оценкой дисперсии ВР является среднее арифметическое квадратов отклонений измеренных значений от среднего значения ВР:

(8)()

В ос для определения оценки дисперсии сумма КО делится на некоторое число, связанное с этой суммой, и называемое числом степеней свободы оценки. Число степеней свободы = число измерений (N)-число связей (1) – одно измерение → ЧСС = N-1

Для экономии вычислительных ресурсов целесообразно использовать рекурентные формулы оценок., на основе (7) можно выразить среднее значение для текущего (n) и предыдущего (n-1) моментов времени, а затем выразить :

(9)

Аналогично для оценки дисперсии:

(10)

Оценка АКФ

определяется выражением:

(11)

С ростом лага к точность оценки резко падает (т.к. падает число членов ВР, используемых при вычислении ), поэтому для сохранения точности необходимо, чтобы k_max<<N: k_max=(0,05…0,1) N.

Оценка ВКФ

(12) (на основе свойства сопряженной симметричности) R_xy (k)=R_xy(-k)

Оценка СПМ:

Основные свойства ОСПМ. Важнейшие характеристики:

1. Точность (или воспроизводимость), характеризуемая дисперсией.

2. Разрешающая способность – минимальное расстояние между различимыми линиями спектра. Эффективным способом повышения точности является усреднение по множеству. Точность повышается при уменьшении ширины корреляционного окна данных.

Разрешающая способность ОСПМ пропорциональна длине ВР NT. Минимальный шаг по частоте . Требования точности и разрешающей способности противоречивы, поэтому спектральный анализ начинают с наиболее точных результатов.

Окно данных и корреляционное окно

Любая конечная последовательность данных может быть представлена как результат прохождения бесконечной последовательности через конечное временное окно. Математически конечная последовательность x_k(i) из N отсчетов i є 0,N может быть представлена в виде произведения бесконечной последовательности x(i) i є ±∞ на прямоугольное окно единичной амплитуды, называемое окном данных.

,

x_k[i]=x[i]*w[i]

Влияние окон на оценку СПМ

Пусть x(t)=sin ωt=sin 2πft – непрерывный сигнал, спектр которого представляет собой 2 δ-функции, рассматриваемые на частотах –f и f.

Дискретизация сигнала приводит к тому, что спектр становится периодическим с периодом, равным частоте дискретизации f_д, или спектр дискретизации сигнала есть сумма копий спектра аналогового сигнала, сдвинутых друг от друга на частоту дискретизации f_д

/* что следует из */

Переход к конечной выборке данных путем взвешивания (пропускания через окно) еще более искажает спектр: импульсы размываются и превращаются в главные лепестки. Помимо главных, возникают боковые (паразитные) лепестки, что называется просачиванием спектра. Оценка СПМ тем лучше, чем уже главные лепестки и меньше просачивание. Улучшить эти показатели позволяет правильно подобранное окно. Применяют множество видов окон, среди которых различают окна данных и корреляционные окна.

ОД расположены справа от оси ординат, КО симметричны относительно оси ординат.

1. Прямоугольное.

ОД: w[i]=1 при i=0…N-1 КО: w[i]=1 при

2. Треугольное окно Бартлетта.

ОД: КО:

i є 0…30

3. Окно Ханна (cos²)

ОД:

КО:

4. Косинусное окно:

имеет 3 наиболее распространенных формы, различающихся значением параметров а₀, а₁, а₂, но отвечающих условию а₀+|а₁|+а₂=1.

окно	а0	а1	а2
Хеннинга	0,5	-0,5
Хемминга	0,54	-0,46
Блэкмана-Хэрриса	0,42	-0,5	0,08

Для всех КО кроме прямоугольных характерно снижение веса w[i] с ростом i, что снимает вклад ординаты R_x(i) при вычислении оценки СПМ. Это согласуется с падением точности оценки КФ при увеличении i (или τ). Самый узкий главный лепесток имеет прямоугольное окно, но здесь высоки боковые лепестки. Наилучшими считаются окна Хемминга и Блэкмана. Форму окна рекомендуется выбирать так, чтобы на частотах, соответствующим помехам, боковые лепестки имели наименьший уровень (чтобы максимально подавить помехи).

Оценка СПМ и ее способы

1. Коррелограммный

(1)

где L – максимальный лаг; w[i] –КО.

Для случая дискретной частоты:

(2)

Для увеличения разрешающей способности (числа отсчетов) оценки СПМ длина корреляционной последовательности может быть увеличена путем добавления нулей. Поскольку КФ за пределами окна(или максимального лага) =0, результат вычислений по (2) не изменится, если вычислять оценку в пределах . При этом удобнее перейти к несимметричным пределам [0,N-1].

Тогда получим (3)

где (4)

В формуле (4) для вместо будет

Дата добавления: 2014-01-05