Передаточная функция замкнутой системы

Передаточная функция разомкнутой системы

Система с обратной связью

Чтобы получить систему с обратной связью, надо соединить звенья параллельно, но с противоположным движением сигналов, как показано на рис. 4.3.

U (p) – сигнал от задающего устройства, в данном случае – входной сигнал системы. С – сумматор. E (p) – ошибка слежения, входной сигнал звена с передаточной функцией K (р). Y (p) – выходной сигнал звена K (р), который одновременно является выходным сигналом системы Y (p). Линия, по которой передается входной сигнал системы, называется линией (каналом) прямой связи. Линия, начинающаяся от точки разветвления R и передающая сигнал в обратном направлении, называется линией (каналом) обратной связи. Сумматор, звено K (р) расположены на линии прямой связи. Звено K _ос(р) включено в линию обратной связи.

U (p)

E (p)

K (p)

K _oc(p)

Y _oc(p)

Y (p) R

Y (p)

Y (p)

С

Рис. 4.3. Схема соединения с обратной связью

Система с обратной связью называется замкнутой.

Если сигнал линии обратной связи входит в сумматор со знаком, противоположным знаку задающего сигнала U (p), обратная связь называется отрицательной. Это указывается зачернением соответствующего сектора сумматора или пометкой знаком «минус». Примем, что обратная связь отрицательная, E (p) = U (p) – Y _oc(p). (в случае положительной обратной связи E (p) = U (p) + Y _oc(p)).

Для замкнутой системы можно составить несколько передаточных функций.

Получается, если разорвать обратную связь, например возле сумматора, как показано волнистыми черточками на рис. 4.3. В таком случае выходным сигналом оказывается Y _oc(p), а передаточная функция будет отношением Y _oc(p) к U (p):

. (4.5)

Методом обратного движения осуществим построение операторного уравнения разомкнутой системы (аргумент р опустим):

.

То есть, согласно (4.5), передаточной функцией разомкнутой системы будет:

. (4.6)

Если вместо звена будет группа уже соединенных звеньев с передаточной функцией, вид формулы остается тем же:

. (4.7)

Передаточная функция разомкнутой системы характеризует собственные динамические свойства системы.

Выходным сигналом, как обозначено на схеме рис. 4.3, будет Y (p), входным U (p).

Передаточная функция замкнутой системы – обозначим ее - есть отношение изображения регулируемой величины к изображению задающего воздействия:

. (4.8)

Двигаясь по контуру регулирования против направления передачи сигнала, получаем:

.

.

По определению (4.8) передаточной функцией замкнутой системы будет:

. (4.9)

Знак «плюс» в знаменателе соответствует отрицательной обратной связи. В случае положительной обратной связи ставиться знак «минус».

Обратная связь через усилительное звено называется жесткой, через дифференцирующее звено – мягкой.

Если в линии обратной связи звено отсутствует, и выходной сигнал системы непосредственно подается на вход, то _ос(р) = 1. Замкнутая система имеет передаточную функцию

. (4.10)

Передаточная функция замкнутой системы характеризует передачу системой задающего воздействия, его воспроизведение регулируемой величиной.

Пример 4.6.

Разомкнутую систему из последовательно соединенных двух одинаковых инерционных звеньев замыкают. Найти передаточную функцию.

По условию,.Значит, передаточная функция разомкнутой системы

.

Согласно формуле (4.5), передаточная функция замкнутой системы

.

Пример 4.7.

Интегрирующее звено соединяется последовательно с инерционным звеном. Соединение охватывается жесткой отрицательной обратной связью.

Найти передаточную функцию.

Передаточные функции звеньев:

,,.

Перемножая и, получаем передаточную функцию соединения:

.

Передаточная функция замкнутой системы

.

Если произведение вынести за скобку, обозначить, и, проявится структура передаточной функции звена второго порядка:

.

То есть, замкнутая система будет вести себя либо как колебательное звено (при условии), либо как апериодическое звено (при условии).

Пример 4.8.

Инерционное звено последовательно соединяется с интегрирующем. К цепочке параллельно подсоединяется звено с единичной передаточной функцией. Вся система охватывается жесткой обратной связью.

Найти передаточную функцию системы.

Структурная схема представлена на рис. 4.4.

K ₄(p)

K ₁(p)

K ₂(p)

K ₃(p)

Рис. 4.4. Структурная схема по условиям примера 4.8

Выпишем передаточные функции:

,,,.

Находим передаточную функцию разомкнутой системы из двух звеньев, и:

.

Находим передаточную функцию параллельного соединения:

Находим передаточную функцию замкнутой системы с учетом того, что обратная связь положительная:

.

Можно убедиться, что результат будет таким же, если нанести на схему обозначения сигналов и применить метод обратного движения.

Дата добавления: 2014-01-05