Кинематически возможное поле скоростей в трубе, находящейся под действием внутренним давления

Кинематические уравнения

Скорость движения материальной точки определяется как производная от координат по времени:

→;;.

Перемещения,, зная координаты точки в начальный момент и текущий момент времени можно определить так:

,

где i –текущие координаты точки; - начальные координаты;

;;;.

, так как;

, то есть перемещение зависит от начального положения точки времени.

Здесь использовали описание движения деформируемого материала с точки зрения Лагранжа. Это когда внимание концентрируют на конкретной частице сплошной среды и интересуются историей ее деформирования. Начальные координаты, индивидуализирующие точки сплошной среды и время называют переменными Лагранжа.

Установим связь между компонентами вектора скорости перемещения и компонентами тензора скорости деформации:

;;

- кинематические уравнения [11].

.

Поле скоростей является кинематически возможным, если оно удовлетворяет: 1) условию несжимаемости; 2) кинематическим граничным условиям (или граничным условиям в скоростях).

Условие несжимаемости:.

С учетом кинематических уравнений:

.

Второе условие означает, что на границе «инструмент-заготовка» значения скоростей точек заготовки должны совпадать с заданными скоростями инструмента. Для примера рассмотрим задание граничных условий при осадке цилиндрической заготовки на плоских бойках (рис. 2.9). Граничное условие для точек заготовки, касающихся верхнего бойка, перемещающегося со скоростью

Рис. 2.9. Граничные условия при осадке заготовки

:. Знак «минус» поставлен из-за того, что ось направлена вверх, а верхний боек перемещается вниз.

Граничное условие для точек заготовки, касающихся нижнего неподвижного бойка:.

Задача: Определить кинематически возможное поле скоростей в трубе, находящейся под воздействием установившегося внутреннего давления (рис. 2.10). Скорость перемещения частиц трубы, принадлежащих внутренней

Рис. 2.10. Труба под действием внутреннего давления

поверхности равна, а деформация по вертикальной оси трубы (оси) отсутствует. На рис. 2.10 и - соответственно наружный и внутренний радиусы,

В рассматриваемом примере деформация осесимметричная, так как внешняя нагрузка приложена симметрично оси заготовки, а сама заготовка является телом вращения. Такую деформацию удобно рассматривать в цилиндрической системе координат, z,.

Для внутренней поверхности трубы можно записать:

.

Деформации по вертикальной оси заготовки отсутствуют, поэтому

.

Условие несжимаемости:.

Для того, чтобы перейти к скоростям перемещения частиц, запишем кинематические уравнения для осесимметричного течения:

,.

В рассматриваемом примере.

При осесимметричном течении перемещения в тангенциальном направлении отсутствуют (), так как нет внешней нагрузки, действующей на частицы в этом направлении. Следовательно, и скорость (рис. 2.11, а). Но деформация в тангенциальном направлении. Определим (рис. 2.11, б)):

.

Здесь и - длина материального волокна, выделенного в стенке трубы, соответственно до и после деформации. Учтено, что длина дуги равна произведению радиуса на центральный угол. Таким образом, деформация в тангенциальном направлении есть, хотя перемещение.

а) б)

Рис. 2.11. Скорости перемещения (а) и деформация материального волокна (б) при осесимметричной деформации

Запишем полностью геометрические уравнения для осесимметричной деформации:

;;;;;.

Последние две сдвиговые деформации равны нулю, так как перемещения не зависят от координаты и.

Чтобы найти кинематические уравнения для осесимметричного течения продифференцируем по времени геометрические уравнения:

;;;;;.

Вернемся к задаче о деформировании трубы внутренним давлением:

;

. (2.13)

Для определения константы интегрирования С используем граничное условие:. Подставим это условие в (2.13):

.

Подставляя найденное С в (2.13) получим:

;;.

Таким образом, полностью определили кинематически возможное поле скоростей для рассмотренного вида деформации.

Дата добавления: 2014-01-05