Решение. Примеры решения задач по электростатике

Примеры решения задач по электростатике

Энергия электрического поля

Емкость цилиндрического конденсатора

 

0

2 1

2

ln

C l

r r



, (1.44)

где l – длина обкладок конденсатора, 1 r и 2 r – радиусы

коаксиальных цилиндров.

Для получения нужной емкости конденсаторы соединяют

параллельно или последовательно в батареи. При парал-

лельном соединении (рис.1.15) U = const, а q =q1+q2+…+qn,

поэтому





n

i

i C C

1

, (1.45)

где i C – емкость i – го конденсатора, n – число конденсаторов.

При последовательном соединении (рис.1.16) q = const,

U = U1+ U2 +……+Un, тогда

1

1 n 1

i i C  C

 . (1.46)

+ - + - + -

С1 С2 С3

С1

+ -

С2

+ -

С

27

Рис. 1.14 Рис. 1.15 Рис. 1.16

Потенциальную энергию взаимодействия двух зарядов

можно выразить через потенциалы полей этих зарядов

()

2

1

4

1

1 1 2 2 1 1 2 2

1

0

   



q q q q

r

q q

W   q    , (1.47)

где 1 – потенциал, создаваемый вторым зарядом в точке

расположения первого заряда; 2 – потенциал, создаваемый

первым зарядом в точке расположения второго.

Энергия взаимодействия точечных зарядов, в силу её

аддитивности, равна сумме энергий каждой пары зарядов и

определяется выражением

i

n

i

i q W  





2 1

1

, (1.48)

где 

I - потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме

qi, в точке нахождения заряда qi.

Используя формулу (1.48), определим энергию заряжен-

ного проводника и конденсатора. Так как проводник является

эквипотенциальным, то

А

28

W  q q

n

i

i 2

1

2

1

1

  



. (1.49)

С учётом (1.40) можно получить и другие выражения для

энергии заряженного проводника

2 2 2

1 2  2

 C

C

W  q  q . (1.50)

Аналогичным образом, для энергии заряженного

конденсатора в соответствии с (1.48) будем иметь

2

()

2

[() () ] 1

2

1

1 2 1 2

W  q   q   q    qU,

а, следовательно, и другие выражения

2 2 2

2 CU 2

C

W  qU  q . (1.51)

Электрическая энергия, определяемая формулой (1.51),

может рассматриваться как энергия электростатического поля,

существующего в конденсаторе. Поэтому есть смысл выразить

эту энергию через напряжённость E



, характеризующую это

поле. На основании соотношений

d

S

C 0 

 и U  Ed,

получим

.

2 2

()

2

2

0

2

0

2

E V

d

W CU S Ed

 

  

Поскольку поле плоского конденсатора однородно, то его

объёмная плотность энергии определяется следующими

выражениями

0

2 2

0

2 2 2



 E ED D   . (1.52)

29

Зная плотность энергии поля в каждой точке, можно

путём интегрирования найти энергию поля, заключённого в

любом объёме V:

dV

E

W dV

V V

   

2

2

0 

. (1.53)

Пример 1. Три одинаковых положительных заряда

1 1 2 3 q  q  q  q  нКл расположены в вершинах равносторон-

него треугольника. Какой отрицательный заряд 0 q нужно

поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с

его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания

зарядов, находящихся в вершинах?

Все три заряда, расположенные в вершинах треуголь-

ника, находятся в одинаковых условиях, поэтому достаточно

рассмотреть условие равновесия одного из трех зарядов,

например 3 q.

В соответствии с принципом суперпозиции на заряд 3 q

действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому

заряд 3 q будет находиться в равновесии, если векторная сумма

действующих на него сил равна нулю:

1 2 0 0 F  F  F  F  F  0

    

, (1)

где 1 F



, 2 F



, 0 F



– силы, с которыми соответственно действуют

на заряд 3 q заряды 1 q, 2 q и 0 q; F



– равнодействующая сил

2 F



и 1 F



.

1 q

2 q

3 q

0 q

r

1 r

0 F



1 F



2 F



F 

 

30

Так как силы F



и 0 F



направлены по одной прямой, то вектор-

ное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:

F  F0  0 или 0 F  F.

Выразив F через 1 F и 2 F и учитывая, что 1 F = 2 F, получим

2 cos 2(1 cos) 1 2 1

2

2

2

0 1 F  F  F  F  F F   F  .

Применяя закон Кулона и имея в виду, что q  q  q  q 1 2 3,

найдем

2

0

2 2

0 1 0

1 1 2(1 cos)

4 4

q q q

r r



 



   ,

откуда

2(1 cos) 2

2

1

0   

r

q qr. (2)

Из геометрических построений в равностороннем

треугольнике следует, что

cos30 3

2

1 0

r r

r  ,

2

cos  cos600  1.

С учетом этого формула (2) примет вид

0 3

q  q.

После подстановки числовых значений получим

0,58 0 q  нКл.

31

Пример 2. На тонком стержне длиной l =20 находится

равномерно распределённый электрический заряд. На

продолжении оси стержня на расстоянии a =10cм от ближай-

шего конца находится точечный заряд Q1 = 40 нКл, который

взаимодействует со стержнем с силой F = 6мкН. Определить

линейную плотность τ заряда на стержне.

Дата добавления: 2014-01-05