Решение. В задаче рассматри- вается поле, создаваемое

Решение

Решение

В задаче рассматри- вается поле, создаваемое

распределенным зарядом. В этом случае поступают

следующим образом. На стержне выделяют малый участок

длиной d x. Тогда на этом участке будет сосредоточен заряд

dQ =  dx, который можно считать точечным.

Потенциал d, создаваемый этим точечным зарядом в

точке А, можно определить по формуле

Потенциал электрического поля, создаваемого заряженным

стержнем в точке А, найдем интегрированием этого выраже-

ния:

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

 = 62,4 В.

.

4π

τd

4π

d d

0 0 x

x

x

Q

 

  

0 0

τd τ d;

4π 4π

2l 2l

l l

x x

x x



 

   

2

0 0

ln ln 2.

4 4

l

l

x  



 

 

41

Пример 8. Электрическое поле создаётся двумя

зарядами Q1 = 4 мкКл и Q2 = -2 мкКл, находящиеся на

расстоянии a=0,1 м друг от друга. Определить работу А12 сил

поля по перемещению заряда Q = 50 нКл из точки 1 в точку 2

(см. рис.).

Для определения работы А12

сил поля воспользуемся соотно-

шением

А12  Q(1 2).

Применяя принцип супер-

позиции электрических полей,

определим потенциалы 1 2  и 

точек 1 и 2 поля:

1 2 1 2

1

0 0 0

2()

4 / 2 4 / 2 4

Q Q Q Q

a a a



  



  ;

1 2 1 2

2

0 0 0

2

4 2 4 4

Q Q Q Q

a a a



  



  .

Тогда

12 1 2 1 2

0

(2() (2)

4

А Q Q Q Q Q

 a

       ,

или

12 1 2

0

(2 1 2)

4

А Q Q Q

 a

      .

После подстановки численных значений, получим

12 A 14,3мДж.

a/2

Q1 1

а Q2

2

a

+ -

42

Пример 9. С поверхности бесконечного равномерно

заряженного (τ = 50 нКл/м) прямого цилиндра вылетает α –

частица (υ0 = 0). Определить кинетическую энергию Т2 α-

частицы в точке 2 на расстоянии 8R от поверхности цилиндра.

Так как силы электростатического

поля являются консервативными, то для

определения кинетической энергии α -

частицы в точке 2 воспользуемся законом

сохранения энергии, записанном в виде

Е1 = Е2, где Е1 и Е2 полные энергии α-

частицы в точках 1 и 2.

Так как Е1= Т1+U1 и Е2= Т2+U2

(Т1 и Т2 – кинетические энергии α -

частицы; а U1 и U2 – потенциальные), то,

учитывая, что Т1 = 0 (υ1=0), можно

записать U1= Т2+U2, откуда:

Т2= U1 - U2 = Q(φ1 - φ2), (1)

где Q – заряд α- частицы, φ1 и φ2 – потенциалы точек 1 и 2.

Для определения разности потенциалов воспользуемся

соотношением между напряжённостью поля и изменением

потенциала: E grad



 



. Для поля с осевой симметрией,

каким является поле цилиндра, это соотношение можно

записать в виде

E d

dr



 , или d  Edr.

Интегрируя это выражение, найдём разность потенциалов двух

точек, отстоящих на расстояниях r1 и r2 от оси цилиндра:

1 2

R 8R

τ

43

2

1

2 1

r

r

    Edr. (2)

Так как цилиндр бесконечный, то для вычисления

напряжённости поля можно воспользоваться формулой

напряжённости поля, создаваемого бесконечно длинным

цилиндром:

0

E (2 r).



 

Подставив выражение для Е в уравнение (1), получим

2

1

2

2 1

0 0 1

ln

2 2

r

r

dr r

r r

 

 

 

     ,

или

2

1 2

0 1

ln

2

r

r



 



 . (3)

Тогда, подставив выражение (3) в уравнение (1), получим

2

2

0 1

ln.

2

Т Q r

r







Проведём вычисления:

16 3

2 Т  6,3310 Дж  3,9610 эВ.

Пример 10. Электрон влетает в плоский горизонталь-

ный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью

7

0  10 м с. Напряженность поля в конденсаторе E 100В см,

длина конденсатора l=5см. Найти модуль и направление

скорости электрона в момент вылета из конденсатора. На

сколько отклонится электрон от первоначального направле-

ния?

Дата добавления: 2014-01-05