Решение. Совместим начало координат с точкой, где находился

Решение

Решение

Совместим начало координат с точкой, где находился

электрон в момент его попадания в поле конденсатора.

44

Движение электрона в конденсаторе можно представить как

результат сложения двух прямолинейных движений: равно-

мерного движения со скоростью  0 x в горизонтальном

направлении и равноускоренного движения с некоторым

ускорением a вдоль оси ОУ.

Ускорение вдоль оси ОУ создает электростатическая

сила (силой тяжести по сравнению с электростатической

пренебрегаем)

m

a  eE,

где е – заряд электрона, Е – напряженность поля.

a

Тогда уравнения, определяющие зависимость координат х

и у и проекций скорости x  и y  от времени, будут иметь вид:

x V t 0 ,

m

y at eEt

2 2

2 2

 , (1)

0 V V x ,

m

V at eEt y  . (2)

В момент вылета из конденсатора x  l, y=h, 1 t  t. Тогда

получим

0

1 

t  l;

0 m

V eEl y ;

2

2

0 2

h eEl

m

. (3)

l

0 0 V



y

h

x

x V

y V V



αα

Vy

45

В момент вылета модуль скорости   равен

2

0

2

0

2 2

 



 



   



   

m

eEl

x y. (4)

Направление вектора определяется углом , для

которого, как видно из рисунка,

2

0 0





m

tg eEl  y . (5)

Подставляя числовые значения, получим

h  2,2 102 м, с

V  1,3107 м; tg=0,9;   420.

Пример 11. Конденсатор емкостью С1=3мкФ был

заряжен до разности потенциалов U1=40В. После отключения

от источника тока конденсатор соединили параллельно с

другим незаряженным конденсатором емкостью С2=5мкФ.

Какая энергия W’ израсходуется на образование искры в

момент присоединения второго конденсатора?

Энергия, израсходованная на образование искры,

W’=W1-W2, (1)

где W1 – энергия, которой обладал первый конденсатор до

присоединения к нему второго конденсатора; W2 – энергия,

которую имеет батарея, составленная из двух конденсаторов.

Энергия заряженного конденсатора определяется по

формуле

W= CU2/2, (2)

где С – емкость конденсатора или батареи конденсаторов.

Выразив в формуле (1) энергии W1 и W2 по формуле (2) и

приняв во внимание, что общая емкость параллельно

соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных

конденсаторов, получим

46

.

1 2

1 1

1 2

2 C C

CU

C C

U Q









2   2

' 1 1 1 2 2

2 2

CU C C U W



  (3)

где U2 – разность потенциалов на зажимах батареи конденса-

торов.

Учитывая, что заряд после присоединения второго

конденсатора остался прежним, выразим разность потенциа-

лов U2 следующим образом:

(4)

Подставив выражение U2 в (3), найдем

или

' 1 2 2

1

1 2

1

2

W C C U

C C





Произведем вычисления:

W '  1,5мДж.

Пример 12. Плоский воздушный конденсатор с

площадью пластин S равной 500 см2, подключён к источнику

тока, ЭДС которого равна ξ = 300В. Определить работу А

внешних сил по раздвижению пластин от расстояния d1 = 1см

до d2 =3 см в двух случаях: 1) пластины перед раздвижением

отключались от источника тока; 2) пластины в процессе

раздвижения остаются подключёнными к нему.

1-й случай. Систему двух заряженных и отключённых от

источника тока пластин можно рассматривать как изолиро-

ванную систему, по отношению к которой справедлив закон

сохранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна

изменению энергии системы:

,

2()

()

2

' 2

1 2

2

1

2

1 2 1

2

1 1

C C

W CU C C C U



  

47

A 􀀀W W2 W1, (1)

где W1 – энергия поля конденсатора в начальном состоянии

(пластины находились на расстоянии d1); W2 – энергия поля

конденсатора в конечном состоянии (пластины находились на

расстоянии d2).

Энергию в данном случае удобно выразить через заряд Q

на пластинах, так как заряд пластин, отключённых от

источника при раздвижении не изменяется. Подставив в

равенство (1) выражения 2

2 2 W  Q / 2C и 2

1 1 W  Q / 2C, получим

2 2 2

2 1 2 1

, 1 1

2 2 2

А Q Q или А Q

C C C C

 

     

 

.

Выразив в этой формуле заряд через ЭДС источника тока и

начальную электроёмкость С1 1 (Q  C), найдём

2 2

1

2 1

1 1

2

А C

C C

  

   

 

. (2)

Подставляя в формулу (2) выражения электроёмкости

(1 0 1 C  S / d и 2 0 2 C  S / d) плоского конденсатора, получим

 

2 2 2 2

0 2 1 0

2 2 2 1

1 0 0 1 2 2

А S d d S d d

d S S d

   

 

 

     

 

. (3)

Произведя вычисления по формуле (3), найдём

 

12 4 2

2

2 2

8,85 10 500 10 300 3 1 10 3,98

2(1 10)

А мкДж

 





   

  



.

2-й случай. Пластины остаются подключёнными к

источнику тока и система двух пластин уже не является

изолированной. Воспользоваться законом сохранения энергии

в этом случае нельзя.

При раздвижении пластин конденсатора разность их

потенциалов не изменяется (U=ξ), а ёмкость будет

уменьшаться (0 C S/d). Будут уменьшаться также заряд на

48

пластинах конденсатора (Q=CU) и напряжённость электри-

ческого поля (Е=U/d). Так как величины E и Q, необходи-

мые для вычисления работы, изменяются, то работу следует

вычислять путём интегрирования.

dA  QE1dx, (4)

где Е1 – напряжённость поля, создаваемого зарядом одной

пластины.

Выразим напряжённость поля E1 и заряд Q через расстоя-

ние x между пластинами:

1

1

2 2

E E

x



  и Q  C, или 0

Q S

x

  .

Подставив эти выражения E1 и Q в равенство (4), получим

2

0 2

1

2

dA S dx

x



 .

Проинтегрировав это равенство в пределах от d1 до d2,

найдём выражение для искомой работы:

2 2

1 1

2 2 2

0 2 0 0

1 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2

d d

d d

A S dx S S

x x d d

     

                 .

После упрощения последняя формула имеет вид

2

2 1

0

1 2

1 ().

2

A S d d

d d











Сделав вычисления, получим A =1,33 мкДж.

Пример 13. Металлический шар радиусом R1=3см несёт

заряд Q = 20 нКл. Шар окружён слоем парафина толщиной

d = 2см. Определить энергию W электрического поля,

заключённого в слое диэлектрика.

Дата добавления: 2014-01-05