Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин

Кухар В.М. та ін. Математика. Множини. Логіка. Цілі числа: Практикум. /За заг. ред. В.М.Кухар. – К.: Вища школа, 1989. – 333 с. (с. 5-56).

Кухар В.М., Білий Б.Н. Теоретичні основи початкового курсу математики. – К.: Вища школа, 1980. – 360 с. (с. 11-88).

Курс математики. – К.: Вища школа. 1995. - 392 с. (с. 3-40).

ПЛАН.

МОДУЛЬ 1: «Множини. Відповідності. Відношення.».

Змістовний модуль 1.1. «Множини та операції над ними».

1. Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин.

2. Порожня, скінченна, нескінченна та універсальна множини. Підмножина. Власні та невласні підмножини даної множини. Рівні та нерівні множини.

3. Відношення між множинами (включення, рівності, перерізу) та їх позначення за допомогою кругів Л.Ейлера та діаграм Ейлера-Венна. Потужність множини. Рівнопотужні (еквівалентні) множини. Скінченні, нескінченні та зчисленні множини. Множини потужності континууму.

4. Операція об’єднання (додавання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.

5. Операція перетину множин та основні властивості (закони) цієї операції.

6. Операції різниці (віднімання) множин та основні властивості (закони) цієї операції.

7. Операція доповнення до даної та універсальної множини та основні властивості (закони) цих операцій.

8. Поняття розбиття множини на класи (підмножини), що попарно не перетинаються. Розбиття множини на класи за допомогою однієї, двох і трьох властивостей. Класифікації.

9. Поняття кортежу та впорядкованої пари. Поняття кортежу довжини n. Рівні пари та кортежі. Декартів (прямий) добуток множин, його задання та зображення. Властивості декартового добутку множин. Число елементів декартового добутку та об’єднання множин. Декартів добуток n множин.

ЛІТЕРАТУРА

1. Якщо у повсякденному житті термін „множина” пов’язується, як правило, з великою кількістю предметів, то в математиці цим поняттям позначають різні множини незалежно від кількості елементів в них. Які ж множини розглядають в математиці? – ті, які містять один, два, три, тощо елементів, або навіть жодного елемента. У практичній діяльності термін «множина» має ряд синонімів: сукупність, колекція, клас, група, ансамбль. Хоча і в математиці існують синоніми для поняття «множина» (множина значень змінної – область визначення; множина двох рівнянь – система рівнянь тощо), але для математики важливо, щоб всі поняття трактувалися всіма однозначно. Саме тому виникає запитання «А що ж таке множина з точки зору математики?». Це поняття є одним із основних понять математики, але його означення не існує. Таким чином, поняття «множина» є, з одного боку, одним з основних понять математики, а з другого – неозначуваним, первісним. Сутність змісту цього поняття розкривається шляхом опису з допомогою конкретних прикладів. Отже, «множина» - це сукупність об’єктів певної природи, які можуть мати або не мати якусь спільну властивість. Поняття множини є основним поняттям спеціальної галузі математики - теорії множин. Теорія множин, як галузь математики, виникла в середині ХІХ століття. Її засновником вважають німецького математика Г.Кантора (1845-1918 рр.).

Множини прийнято позначати великими буквами латинського алфавіту: А, В, С,… Об’єкти, з яких складається множина, називають елементами множини. Їх прийнято позначати малими буквами латинського алфавіту: а, в, с, …, х, у або цими ж буквами з індексами. Якщо елемент а належить деякій множині М, то це позначають так: аÎМ, а якщо елемент в не належить множині А, то це позначають так: вÏА. Якщо деякі елементи належать множині А, то їх записують у фігурних дужках так: А={а, в, с, d}; В={в₁, в₂, в₃, в₄, в₅}.

Поняття множини широко використовують при вивченні різноманітних галузей математики. Деякі множини в математиці мають усталені, загальноприйняті позначення. Як відомо, множини можуть складатися із елементів будь-якої природи, зокрема із чисел. Такі множини прийнято називати числовими. Для деяких числових множин введені спеціальні позначення: множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N={1, 2, 3, …, n, …}; множину цілих чисел позначають так: Z={0, ±1, ±2, ±3, … ±n, …}; множину раціональних чисел, яка складається із цілих чисел та додатних і від’ємних дробів прийнято позначати буквою Q; множину дійсних чисел, яка складається із множини раціональних та ірраціональних чисел позначають буквою R.

Задати множину означає: схарактеризувати її елементи так, щоб відносно кожного елемента можна було відразу встановити, належить він цій множині чи ні. Коли ж множина вважається заданою? – коли відносно будь-якого її елементу ми можемо твердити чи належить він множині чи ні. Як можна задати множину? – назвавши всі її елементи, тобто переліком. Задати множину переліком означає назвати чи записати всі її елементи, наприклад: М={1,2,3,4,5}. Що для цього слід зробити? – у фігурних дужках написати всі елементи множини, наприклад: А={а, в, с, d}, С={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. Чи завжди зручний розглянутий спосіб задання множин? Коли він зручний, а коли не зручний? – коли множина має малу кількість елементів; коли множина має велику кількість елементів.

Множини також можна задавати за допомогою характеристичної властивості, наприклад: А={х/хÎR і х>0}. Задати множину описом або за допомогою характеристичної властивості означає вказати характеристичну властивість всіх елементів множини, наприклад: множину натуральних чисел, які менші числа 6, описом задають так: М={х¤хÎNÙх<6}. Яким способом завжди можна задати множину? – за допомогою характеристичної властивості. Скінченні множини легко задавати і переліком, і описом. Але частіше користуються способом переліку. Нескінченні множини здебільшого задають описом. Але в окремих випадках задають і переліком, наприклад: Р={х/хÎNÙх:2}, М={2, 4, 6, 8,..., 2n,…}. Таким чином, існують два способи задання множин: описом або за допомогою характеристичної властивості та переліком.

Дата добавления: 2014-01-05