Премія за ризик. Приклади

.

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента, взяту з протилежним знаком:

CC (Х) = –.

Страховою сумою (СС) називають величину детермінованого еквівалента із протилежним знаком:

CC (Х) = –.

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) p(Х) — це сума (в одиницях виміру критерію х), якою суб’єкт керування (особа, що приймає рішення) згоден знехтувати (уступити її) з середнього виграшу щоб уникнути ризику, пов’язаного з лотереєю. Тобто ця сума менша, ніж математичне сподівання виграшу.

!

!!! Зауважимо: Для зростаючих функцій корисності величину премії за ризик p(Х) в лотереї L покладають рівною різниці між сподіваним виграшем та детермінованим еквівалентом, тобто

Приклад 1. Нехай U (x) = a + bx, b > 0. Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю, що має щільність розподілу f (x). Необхідно відшукати сподіваний виграш, детермінований еквівалент та премію за ризик.

Розв’язання. Сподіваний виграш знаходимо за формулою:

Детермінований еквівалент знаходимо з рівняння:

U () = M (U (Х)) .

Оскільки , , то .

Отже, для лінійної функції корисності премія за ризик p(Х) =– – = 0.

Приклад 2. Нехай U (x) = а – be^–cx, де а > 0, b > 0, c > 0, x ³ 0 (рис.1). Припустимо, що особа, яка приймає рішення, має справу з лотереєю L (x ₁, p; x ₂, q), p + q = 1. Відшукати сподіваний виграш та детермінований еквівалент .

Розв’язання. Сподіваний виграш .

Детермінований еквівалент є розв’язком рівняння U () = = M (U (Х)) або з рівнозначного рівняння:

Якщо покласти х ₁ = 80, х ₂ = 100, с = 2, р = 0,7, q = 0,3, то отримуємо:

Премія за ризик p(Х) = 86 – 80,2 = 5,8. -

Рис. 1. Графік функції корисності U (x) = a – be^{– cx}

Нехай лотерея L приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями і відповідними корисностями .

Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою: .

Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою: .

Корисність результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

Дата добавления: 2014-01-05