КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Определение линейного оператора. Ядро и дефект линейного оператора
Определение: Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем же полем Р. Отображение называется линейным оператором, действующим из X в Y, если для. Примеры: 1. Пусть – два линейных пространства над полем Р.,. (Всякий изоморфизм – линейный оператор) 2. Пусть Е – евклидово пространство над, L – произвольное его подпространство. и – изученные нами свойства данных функций позволяют утверждать, что это - два линейных оператора, действующих между L и, L и L. 3. Отображение, ставящее в соответствие каждому вектору линейного пространства X нулевой вектор пространства Y, очевидно, является линейным оператором. (). 4. Поставим в соответствие каждому вектору линейного пространства X этот же вектор. Это тоже линейный оператор:. Он называется тождественным, или единичным линейным оператором. 5. Пусть. Введем новый оператор В по следующему правилу:. Этот оператор называется противоположным для А. () 6. Зафиксируем элемент a поля Р и поставим в соответствие вектор. Полученный таким образом оператор также является линейным, действующим из X в X. Этот оператор называется скалярным оператором. Из определения линейного оператора следует, что, для. Каждый линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой. Лемма 1: Пусть. Множество – (множество всех значений оператора А) является подпространством линейного пространства Y. Доказательство: Пусть,.
.
Определение: Пусть. Размерность подпространства называется рангом оператора А. () Лемма 2: Пусть. Множество – ядро линейного оператора А. Ядро линейного оператора А является подпространством линейного пространства X. Доказательство: Пусть,.
Для . Определение: Размерность ядра называется дефектом оператора А и обозначается.
Теорема 1: Пусть. Представим X в виде:, где – любое подпространство, дополнительное к ядру. Тогда, и это соответствие – изоморфизм. Доказательство: Рассмотрим произвольный вектор)..
Этим мы установили, что отображение сюрьективно. Установим инъективность этого отображения, т.е. докажем, что является образом единственного вектора. Пусть,. . Тогда. Инъективность доказана. То, что это – изоморфизм, следует из определения линейного оператора. Таким образом,, кроме того, мы знаем, что (в силу определения прямой суммы), откуда следует, что,. Линейный оператор А устанавливает изоморфное соответствие между подпространством и любым подпространством линейного пространства X, которое в прямой сумме с ядром дает все пространство X. Любой линейный оператор А порождает целое семейство линейных операторов, каждый из которых на своей области определения совпадает с А. Примеры: 1. Пусть в линейном пространстве задан базис. Оператор А ставит каждому вектору из X его координату с фиксированным номером. Пусть дано X – конечномерное, – базис X,,. 2. В евклидовом пространстве Е зафиксируем вектор, а оператор А ставит в соответствие вектору число
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 688; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |