Кольцо операторов

Линейное пространство линейных операторов.

Рассмотрим два линейных пространства X и Y, заданных над одним и тем же полем Р и рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в Y и обозначим его.

Определение:

Пусть. Будем говорить, что.

Оператор называется суммой А и В и обозначается, если.

Теорема 2: Множество относительно введенной операции сложения является абелевой группой.

Доказательство:

1. Замкнутость. Пусть. Рассмотрим.

. Таким образом.

2. Ассоциативность.

3. Нейтральным элементом является нулевой оператор.

4. Симметричным элементом будет противоположный оператор.

5. Коммутативность.

Определение: Оператор называется произведением и обозначается.

Теорема: Относительно операций сложения линейных операторов и умножения линейных операторов на элемент поля множество является линейным пространством.

Доказательство сводится к проверке аксиом линейного пространства.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с

Лекция №14 (II семестр)

Тема: Кольцо линейных операторов. Группа невырожденных операторов. Матрица линейного оператора. Связь между линейными операторами и линейными алгебраическими уравнениями.

Содержание:

Рассмотрим три линейных пространства X, Y, Z над одним и тем же полем Р. Пусть линейный оператор,. Отображение С, действующее из X в Z, называется произведением операторов В и А и обозначается, если.

Покажем, что отображение С является линейным оператором.

Заметим, что введенная операция умножения не является алгебраической, поскольку произведение операторов определено не для каждой пары, но в случае, когда о произведении операторов говорить имеет смысл, справедливы следующие свойства:

1.

2.

3.

4.

Эти свойства выполняются для и.

Доказательство: Пусть, и поскольку

,

то первое свойство доказано. Аналогично доказываются остальные свойства.

Рассмотрим множество всех линейных операторов, действующих из X в X. Тогда для любых двух операторов, принадлежащих, определена и сумма и произведение. Согласно свойствам 3 и 4, обе эти операции связаны дистрибутивными законами, кроме того, умножение ассоциативно, существует единичный оператор (Е), относительно сложения это множество – абелева группа., следовательно, справедлива теорема.

Теорема: Множество является ассоциативным кольцом с единицей.

Определение: Если для некоторых элементов А и В из множества выполняется, то операторы А и В называются перестановочными, или коммутативными. В частности, единичный оператор перестановочен с любым оператором.

Так как кольцо линейных операторов является также и линейным пространством, то для разности двух линейных операторов справедлива формула:.

Дата добавления: 2014-01-05