Операторный многочлен

Пусть линейный оператор А действует в комплексном линейном пространстве X и пусть (1) – произвольный многочлен над полем комплексных чисел. Рассмотрим линейный оператор:

(2) – этот оператор тоже действует в X.

Определение: Оператор (2) называется операторным многочленом от оператора А.

Пусть Р – произвольное поле. Рассмотрим множество всевозможных многочленов от одной переменной с коэффициентами из поля Р. Как известно, в можно определить операцию сложения, умножения и относительно этих операций множество будет являться коммутативным кольцом с единицей.

Пусть – поле комплексных чисел. Тогда – множество всех многочленов от одной переменной с комплексными коэффициентами. Зафиксируем некоторый оператор и каждому многочлену поставим в соответствие операторный многочлен. Мы получим множество всех операторных многочленов, соответствующих оператору А и это множество также является коммутативным кольцом с единицей.

В этом кольце в частности выполняется равенство:

Лемма 1: Пусть линейный оператор А действует из X в X, – некоторый многочлен с комплексными коэффициентами, – операторный многочлен и пусть – область значений операторного многочлена.

Область значенийявляется подпространством линейного пространства X, инвариантным относительно оператора А.

Доказательство: Пусть вектор, это означает, что существует вектор, такой, что, проверим, будет ли.

Лемма 2: Пусть линейный оператор А действует из X в X, – некоторый многочлен с комплексными коэффициентами, – операторный многочлен и пусть – ядро операторного многочлена является подпространством линейного пространства X, инвариантного относительно оператора А.

Доказательство:

Лемма 3: Пусть линейный оператор, – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А является корнем многочлена, то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению, принадлежат ядру операторного многочлена.

Доказательство:

,

тогда

Лемма 4: Пусть линейный оператор, – произвольный многочлен с комплексными коэффициентами. Если собственное значение оператора А не является корнем многочлена, то все собственные векторы оператора А, соответствующие этому собственному значению, принадлежат образу операторного многочлена.

Доказательство:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №21 (II семестр)

Тема: Прямая сумма оператора и её свойства. Теорема о разложении оператора в прямую сумму с помощью операторного многочлена.

Содержание:

Теорема: Пусть линейный оператор, L – произвольное подпространство линейного пространства X, инвариантное относительно оператора А. Если все собственные значения оператора, индуцированного оператором А на подпространство L являются корнями многочлена, то подпространство L содержится в ядре операторного многочленадля всех достаточно больших k.

Доказательство:

1. Пусть – область значений оператора, индуцированного на подпространство L операторным многочленом, т.е.. Оператор вырожден на подпространстве L, т.к. если – собственный вектор оператора А, принадлежащий L, т.е., то, по условию,, а тогда, по лемме 3. Т.о., существуют ненулевые векторы, принадлежащие ядру оператора, а тогда содержится в L, потому что инвариантно относительно оператора А (по лемме 1), и.

2. является подпространством линейного пространства L, если это подпространство нулевое, то доказывать нечего, т.к. в этом случае, а тогда, k=1.

Пусть – ненулевое. Согласно лемме 1, (равное) является инвариантным относительно оператора. По следствию из основной теоремы алгебры, оператор А, действующий из в имеет, по крайней мере, одно собственное значение, а так как характеристический многочлен индуцированного оператора, является делителем характеристического многочлена порождающего оператора, то, будучи собственным значением последнего, является корнем многочлена, т.е., а тогда индуцированный оператор, действующий из в, вырожден (по лемме 3) и тогда и. Имеем последовательность:

, где,

Продолжая рассуждение в том же духе, получим последовательность:

. Так как не может бесконечно уменьшатся с ростом k, то существует k такое, что – нулевое подпространство, а тогда, а тогда это и означает, что.

Теорема 14: Любой линейный оператор А, действующий в m- мерном комплексном пространстве X, имеет по крайней мере одно инвариантное подпространство размерности m-1.

Доказательство: Т.к. линейное пространство X рассматривается над полем комплексных чисел, то по основной теореме алгебры этот линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор. Пусть этот вектор соответствует собственному значению l, т.е.. Рассмотрим операторный многочлен, соответствующий многочлену. По лемме 1, область значений операторного многочлена, которую мы обозначили, является подпространством, инвариантным относительно оператора А. По лемме 3 оператор вырожден, следовательно.

Пусть L – произвольное подпространство линейного пространства X, имеющее размерность и содержащее в себе в качестве подпространства.

Покажем, что пространство L – искомое, т.е., что оно инвариантно относительно А. Рассмотрим произвольный вектор. (, но с другой стороны,, где L – инвариантно относительно А.

Дата добавления: 2014-01-05