Собственные значения и собственные векторы линейных операторов

Пусть, и. Может оказаться, что векторы и коллинеарные. Число l называется собственным значением, а ненулевой вектор – собственным вектором линейного оператора А, если они связаны соотношением:.

Если вектор является собственным, соответствующим собственному значению l, то для любого a – элемента поля Р,, вектор также будет собственным вектором, соответствующим этому собственному значению.

В самом деле, т.к. (т.к. он собственный) и т.к., то вектор тоже будет отличным от нуля.

Кроме того,.

Если векторы и являются собственными, соответствующими собственному значению l, то ненулевой вектор также будет собственным вектором, соответствующим этому собственному значению:

Рассмотрим множество всех собственных векторов, соответствующих собственному значению l. Так как нулевого вектора среди них нет, то множество не является подпространством линейного пространства X, но – является. Оно называется собственным подпространством линейного оператора А, соответствующим собственному значению l.

Рассмотрим нулевой оператор, тождественный оператор и скалярный оператор.

Собственными векторами этих трех операторов будут все ненулевые векторы линейного пространства X. Эти операторы имеют лишь по одному собственному значению (у нулевого – 0, 1– у второго, l – у третьего). Они имеют лишь по одному собственному подпространству, совпадающему со всем линейным пространством X.

Пример: Пусть. В X выбрано подпространство, тогда, – оператор проектирования.

Оператор проектирования имеет две совокупности собственных векторов.

1) Все векторы из области значений оператора проектирования (т.е. все ненулевые векторы из L)

2) Все векторы из области значения оператора проектирования.

Первой совокупности собственных векторов соответствует собственное значение, а второй –, следовательно, оператор проектирования имеет по крайней мере 2 собственных подпространства. (имея 2 собственных значения).

Теорема 9: Система собственных векторовлинейного оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям, линейно независима.

Доказательство: проведем индукцию по числу m векторов системы.

1. Пусть m=1, тогда система состоит из одного собственного вектора, который по определению отличен от нуля, а любой ненулевой вектор образует линейно независимую систему.

2. Пусть утверждение теоремы справедливо для любой системы векторов, содержащей m-1 векторов линейного оператора А, соответствующих попарно различным собственным значениям и доказательство линейной независимости системы проведем от противного.

Предположим, что нашлись элементы поля Р, не все равные 0, такие, что (1).

Не ограничивая общности, будем считать, что. К обеим частям равенства (1) применим оператор А и будем иметь:

(2)

Умножим обе части равенства (1) на и из (2) вычтем полученный результат:.

По индуктивному предположению, система векторов линейно независима, следовательно, все коэффициенты в этой нулевой линейной комбинации равны 0, и в частности,. Но не равно нулю, следовательно,, что противоречит нашему предположению и говорит о том, что теорема справедлива.

Следствие: Любой линейный оператор, действующий в m -мерном линейном пространстве X не сможет иметь более чем m различных собственных значений.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №18 (II семестр)

Тема: Линейная независимость системы собственных векторов, соответствующих попарно различным собственным значениям. Оператор простой структуры и его матрица.

Содержание:

Линейный оператор А, действующий в m-мерном линейном пространстве X называется оператором простой структуры, если он имеет m линейно независимых собственных векторов.

Лемма: Операторы простой структуры, и только они в некотором базисе имеют диагональную матрицу.

Доказательство:

1. Пусть оператор – оператор простой структуры, т.е., и есть m линейно независимых собственных векторов.

Тогда:

, или, что то же самое,.

2. Если оператор А в некотором базисе имеет диагональную матрицу, то базисные векторы этого базиса являются собственными векторами, соответствующими собственным значениям (не обязательно различным). Т.о. линейный оператор обладает m линейно независимыми собственными векторами, следовательно, он является оператором простой структуры.

Пример: Рассмотрим матрицу

. Выясним, является ли эта матрица матрицей оператора простой структуры.

1. Найдем характеристический многочлен данной матрицы.

= -λ = -λ(-λ³+λ)= λ²(λ²-1)

2. Найдем корни характеристического многочлена. λ₁=0; λ₂=0; λ₃=1; λ₄=-1.

Рассмотрим корень кратности два и найдём размерность подпространства, соответствующего данному собственному числу. Получим матрицу.Эта матрица имеет ранг равный трём, т.к. максимальный ненулевой минор имеет порядок три. Значит размерность собственного подпространства, соответствующего собственному числу 0 равна одному. Т.е. геометрическая кратность собственного числа 0 меньше его алгебраической кратности. Значит не существует базиса из собственных векторов. Отсюда следует, что оператор, имеющий данную матрицу в некотором базисе, не будет оператором простой структуры.

Пример: Рассмотрим матрицу

. Выясним, является ли эта матрица матицей оператора простой структуры.

1. Находим характеристический многочлен данной матрицы.

= -λ - = -λ(-λ³+6λ) – (λ²-6) – - (λ²-6) = (λ²-6)(λ²-1)

2. Приравняем характеристический многочлен к нулю и найдём его корни.

(λ²-6)(λ²-1)=0; λ=; λ=-; λ=1; λ=-1.

Т.к. корни разные, то существует базис из векторов, соответствующих этим собственным числам. Значит оператор, имеющий данную матрицу в некотором базисе будет оператором простой структуры и его матрица в базисе из собственных векторов имеет вид:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №19 (II семестр)

Тема: Характеристический многочлен оператора. Алгебраически замкнутые поля. Основная теорема алгебры.

Содержание:

Дата добавления: 2014-01-05