Жорданова форма матрицы

Матричная интерпретация разложения линейного пространства X в прямую сумму корневых подпространств.

Пусть, и пусть:

– базис

– базис

......................

– базис.

Тогда матрица линейного оператора А в этом базисе имеет вид:

, где – квадратные матрицы порядка.

Пусть – характеристический многочлен оператора А и пусть, где – ядро оператора.

Займемся выбором базиса в каждом из корневых подпространств. Рассмотрим корневое подпространство.

Определение: Высотой корневого вектора называется наименьшее число n, такое, что.

Все корневые векторы, соответствующие собственному значению имеют высоты, не превосходящие кратности корня, т.е. имеют высоты, меньше, либо равные.

Пусть t – максимальная высота корневых векторов из,.

Если вектор имеет высоту k, то вектор имеет высоту. Поэтому в корневом подпространстве имеются векторы всех высот от 0 до t.

Для любого буквой обозначим множество всех векторов, таких, что. ()

Лемма 1: является подпространством корневого пространства.

Доказательство: Пусть

Возьмем произвольные, тогда:

– подпространство корневого пространства.

Очевидно, что справедлива лемма:

Лемма 2:,.

Пусть – произвольные линейно независимые векторы из, линейная оболочка которых в прямой сумме с подпространством дает все подпространство, которое совпадает с. Ясно, что это будут корневые векторы высоты t,, и никакая линейная комбинация векторов не принадлежит подпространству.

Лемма 3: Рассмотрим следующую систему векторов:

(1)

Система (1) линейно независима.

Доказательство: Пусть

Применим к обеим частям последнего равенства оператор.

В силу указанных высот линейная комбинация под действием оператора отобразится в нулевой вектор. Т.о., высота вектора меньше или равна. Это может быть лишь тогда, когда все коэффициенты.

Подействуем на обе части этого же равенства оператором и, аналогичным образом, получим, что и т.д.

В силу выбора векторов никакая ненулевая линейная комбинация векторов, стоящих в i-ой строке таблицы (1) не принадлежит подпространству.

Дополним векторы,..., такими векторами,..., из подпространства, чтобы вся совокупность была линейно независимой и ее линейная оболочка в прямой сумме с подпространством давала. Это будут корневые векторы высоты,.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №24 (II семестр)

Тема: Жорданова форма матрицы.

Содержание:

Никакая линейная комбинация построенной системы векторов не принадлежит подпространству. Рассмотрим совокупность векторов:

(2)

По лемме 3 система (2) линейно независима, кроме того, никакая ненулевая линейная комбинация векторов i-ой строки таблицы (2) не принадлежит подпространству.

Аналогичным образом переходим к подпространствам, и т.д. Мы получили систему из векторов, принадлежащих корневому подпространству. Таблицы 1, 2,... заканчиваются таблицей, состоящей из одной строки:

. Эти векторы принадлежат пространству, т.е. являются собственными,.

Расположим таблицы последовательно слева направо и введем переобозначение:

(4)

Векторы, стоящие в первой строке, имеют высоту, во второй –, и т.д., в последней – 1. Т.е. векторы, стоящие в 1 последовательной строке оператором переводятся в нулевой вектор.

Каждый столбец таблицы определяет инвариантное подпространство оператора, и, следовательно, инвариантное подпространство оператора А. Это подпространство называется циклическим.

Первые столбцов таблицы определяют циклических подпространств размерности t, следующие столбцов определяют инвариантных относительно оператора А циклических подпространств размерности, и т.д. Последние столбцы определяют одномерные циклические подпространства. Их. Все корневое подпространство является прямой суммой циклических подпространств.

Напишем матрицу оператора, индуцированного оператором А в циклическом подпространстве: пусть например, в качестве базиса взяты векторы. Найдем:,,,...,, откуда следует, что

,

Определение: Матрица вида называется жордановой клеткой или жордановым ящиком.

Построим матрицу оператора А, действующего в линейном пространстве X, беря в качестве базиса последовательное объединение базисов корневых подпространств, а в качестве базиса каждого корневого подпространства возьмем векторы таблицы (4), упорядоченные подряд снизу вверх и слева направо. Такой базис корневого подпространства называется корневым, а объединение корневых базисов, т.е. базис пространства X, построенный таким образом, называется каноническим. В каноническом базисе матрица оператора имеет вид:

Она называется жордановой формой матрицы.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №25 (II семестр)

Тема: Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Содержание:

Дата добавления: 2014-01-05