КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Характеристический многочлен
Не всякий линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор. Примеры: 1. В качестве линейного пространства X возьмем множество всех многочленов степени меньшей или равной n. Оператор дифференцирования – оператор, действующий из X в X. если только это не константа, если, то. Этот оператор не имеет собственных векторов, отличных от многочленов нулевой степени. 2. Оператор А, действующий в пространстве V2 – радиус-векторов и осуществляющий поворот на каждого из векторов на некоторый угол, отличный от p, против часовой стрелки не имеет собственных векторов. Займемся исследованием вопроса о существовании собственных векторов оператора. Прежде всего выведем уравнение, которому удовлетворяют все собственные значения l линейного оператора,. Пусть l – собственное значение, соответствующее собственному вектору. Тогда, (1) По определению, собственный вектор отличен от, тогда из равенства (1) следует, что оператор – вырожден. Т.о. собственные значения оператора А – это те и только те элементы l поля Р, для которых оператор – вырожден. Пусть – какой-либо базис линейного пространства X. – матрица оператора в этом базисе. Оператор – вырожден тогда, и только тогда, когда вырожденной является матрица, т.е. тогда, когда (2). В самом деле, известен следующий критерий невырожденности. Оператор А, действующий в некотором линейном пространстве, будет невырожденным, если определитель матрицы этого оператора отличен от 0. Теорема 10: Числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X. Доказательство: Пусть в X выбран еще один базис – и пусть –матрица линейного оператора в базисе f. Пусть Q – матрица преобразования координат от базиса e к базису f.
Тогда, как известно, матрицы одного и того же оператора связаны соотношением:, Q – невырожденная матрица, тогда:
Т.о. числа l, удовлетворяющие уравнению (2), не зависят от выбора базиса в линейном пространстве X. Рассмотрим оператор,, и в X задан базис, в котором матрица оператора А выглядит следующим образом:. является многочленом степени m относительно l, т.е. можно записать:.
Легко видеть, что наивысшая степень l достигается только при умножении элементов главной диагонали, откуда видно, что коэффициент при равен 1. Определение: Функция (3) называется характеристическим многочленом оператора. Таким образом, с каждым линейным оператором А связывается характеристический многочлен. Верно и обратное, что всякий многочлен вида (3) является характеристическим многочленом некоторого оператора. 1. Пусть. Рассмотрим – эта матрица определяет линейный оператор. Посчитаем. 2.,.
3.
Для того, чтобы элемент l поля Р был собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы он был корнем характеристического многочлена, т.е. удовлетворял уравнению: (4). Уравнение (4) называется характеристическим уравнением. Не в любом поле Р любой многочлен с коэффициентами из Р имеет хотя бы 1 корень. Пример: в поле R корней не имеет. Определение: Поле Р называется алгебраически замкнутым, если всякий многочлен с коэффициентами из поля Р имеет хотя бы один корень, принадлежащий этому полю. Т.о., если линейный оператор действует в X над алгебраически замкнутым полем Р, то он имеет хотя бы один собственный вектор.
Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 1071; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |