Группа невырожденных операторов

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора. В противном случае оператор называется вырожденным.

Примеры:

1. Тождественный оператор является невырожденным.

2. Скалярный оператор при является невырожденным оператором.

3. Произвольный линейный оператор раскладывает. Оператор А порождает новый оператор,. Оператор определяется по такому правилу: на своей области определения он совпадает с оператором А. (– сужение А на). – невырожденный оператор.

Для невырожденных операторов дефект равен 0, а так как:

, следовательно, для невырожденных линейных операторов, действующих из X в X, ранг совпадает с размерностью всего пространства X. Если оператор является невырожденным, следовательно,, т.е. любой вектор линейного пространства X является образом некоторого вектора из этого же пространства, т.е. невырожденный оператор всегда является сюръективным отображением.

Важным свойством невырожденного оператора является единственность прообраза для любого вектора. В самом деле, если, то,.

Таким образом, множество невырожденных операторов, принадлежащих – множество изоморфизмов, действующих из X в X.

Рассмотрим, пусть – множество всех невырожденных операторов.

Теорема 5: Множество W является группой по умножению.

Доказательство: Проверим справедливость аксиом группы.

1. Замкнутость. Нужно показать, что произведение двух невырожденных операторов есть невырожденный оператор.

Пусть. Рассмотрим.

2. Ассоциативность уже доказана для любых линейных операторов.

3. Существование нейтрального элемента. Тождественный оператор Е, выполняющий роль единицы относительно операции умножения операторов, очевидно, невырожден.

4. Существование обратного. Пусть,, тогда положим, что. Так как оператор А – изоморфизм, то А – биективное отображение X на X, и, в частности, оно сюрьективно, следовательно, оператор – определен. Так как А – инъективен, то – также является отображением.

Докажем, что – линейный и невырожденный оператор.

Покажем сначала, что:

:

Покажем, что – линейный оператор.

Для

Так как А – невырожденный, то

.

Осталось показать, что – невырожденный.

Рассмотрим.,.

Пусть. Для любого целого положительного числа p можно говорить о степени:. Для любых целых положительных p и q:. По определению будем считать, что.

Пусть А – невырожденный оператор, тогда для любого целого положительного числа r, – тоже невырожденный оператор, а тогда для него существует обратный оператор:

По определению положим, что.

Рассмотрим произвольный невырожденный оператор А и множество. Произведение любых двух элементов из множества является элементом из этого же множества, т.е. это множество замкнуто относительно операции умножения операторов, выполняются все аксиомы группы и эта группа – абелева. Все элементы этой группы являются степенями фиксированного элемента А, поэтому – циклическая группа, порожденная оператором А.

Дата добавления: 2014-01-05