Определитель произведения квадратных матриц

Обратная матрица.

Правило Крамера.

Если определитель системы отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение. Пусть d – определитель этой системы.

,

.

Единственное решение этой системы вычисляется по формулам:

Доказательство:

Утверждение: Сумма произведений элементов каждой строки определителя (скажем, i -ой) на алгебраические дополнения элементов какой–либо другой строки (скажем, j- ой) равна нулю.

Доказательство:

Вычислим этот определитель, применяя теорему Лапласа к i-ой строке

(1)

Подставим вместо в обе части выражения (1) элементы j-ой строки, и получим:

Пусть – алгебраическое дополнение элемента в определителе d. Раскладывая определитель d с индексом по элементам j-того столбца, получим:

Подставим выражения в какое-нибудь, скажем, k-ое выражение системы. Будем иметь:

Пусть А – невырожденная матрица, т.е., тогда существует матрица, обозначаемая, такая, что.

Используя понятие определителя, можно указать явный вид элементов обратной матрицы через миноры матрицы А.

.

Для доказательства достаточно перемножить А и.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №11 (2 семестр)

Тема: Определитель произведения квадратных матриц.

Содержание:

Теорема: Определитель произведения квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц.

Доказательство: Пусть

,.

Рассмотрим определитель порядка:

Вычислим этот определитель, используя теорему Лапласа, применяя ее к первым n строкам определителя.

Вычислим определитель другим способом: преобразуем его так, чтобы в правом нижнем углу стояли 0. К -му столбцу прибавим первый, умноженный на, второй, умноженный на и т.д., n-й, умноженный на. К -му столбцу прибавим первый, умноженный на, второй, умноженный на и т.д., n-й, умноженный на и т.д. К столбцу с номером прибавим первый, умноженный на, второй, умноженный на и т.д., n-ый, умноженный на. Получим определитель:

Преобразуем полученный определитель следующим образом: поменяем местами первую строку с, и т.д., n-ую с -ой. В результате получится определитель:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №12 (II семестр)

Тема: Теорема о произведении неособенных матриц.

Содержание:

Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей, причем.

Обратная матрицадля невырожденной матрицы так же является невырожденной и.

Доказательство: По условию,,, но, т.о. – невырожденная матрица.

Так как, то матрица для А существует, и

, следовательно,.

Матрица А, очевидно, удовлетворяет уравнению:, так что А является обратной для, следовательно,.

Теорема: Множество невырожденных квадратных матриц порядка N является группой по умолчанию. В самом деле. Замкнутость очевидна, так как доказано ранее, что произведение невырожденных матриц есть невырожденная матрица. В лекции №7 была доказана ассоциативность произведения матриц. Кроме того невырожденная матрица обратная и обратная является невырожденной (доказано выше). Е является невырожденной матрицей. Таким образом аксиомы выполнены и теорема доказана.

Теорема. Множество степеней невырожденной матрицы образует абелеву группу относительно умножения матриц.

Доказательство.

Невырожденность произведения доказана ранее. Имеет место равенство Аⁿ∙А^m= А^n+m. В самом деле: Аⁿ∙А^m= (А∙.…∙А)∙(А∙….∙А) =А∙….∙А=А^n+m.

nmm+n

Из этого следует произведение степеней матрицы, т.е. имеет место замкнутость. Единичная матрица может интерпретироваться как А⁰. (Все свойства Епри такой интерпретации сокращаются). Ассоциативность вытекает из свойств матричного умножения. А^-n определим как (А^-1)ⁿ (невырожденность обратной доказана ранее). Тогда (Аⁿ)^-1 = (А^-1)ⁿ. Таким образом аксиом группы выполнены. Множество невырожденных матриц вида Аⁿявляется циклической группой конечного, либо бесконечного порядка. Например матрицы вида порождают циклическую группу бесконечного порядка. Матрицы вида образуют циклическую группу второго порядка.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №13 (II семестр)

Тема: Определение линейного оператора. Ядро и дефект. Теорема о биективном соответствии образа и дополнительного к ядру подпространства. Линейное пространство операторов.

Содержание:

Дата добавления: 2014-01-05