Теорема Кронекера – Капелли

Системы линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений:

(1)

Из коэффициентов этой системы можно составить две матрицы:

(2) и (3)

Матрица (2) называется матрицей системы, а (3) – расширенной матрицей системы.

Утверждение: Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство: Пусть система (1) совместна. Это означает, что равенства (1) будут выполняться для некоторого набора значений неизвестных, т.е. будет выполнятся равенство:

,

пусть

.............................

Так как вектор является линейной комбинацией векторов, то системы векторов и эквивалентны, следовательно, они имеют одинаковый ранг, и поэтому ранг матрицы (2) равен рангу матрицы (3).

Пусть теперь ранг матрицы (2) равен рангу матрицы (3). Тогда база векторов столбцов матрицы (2) является базой и для векторов столбцов матрицы (3). А тогда вектор представим в виде линейной комбинации векторов, т.е. найдутся такие, что а это означает, что система (1) совместна, поскольку являются ее решением.

Определение: Система алгебраических уравнений называется неоднородной, если среди ее свободных членов есть отличные от нуля. В противном случае она однородна.

Однородная система линейных уравнений всегда совместна, поскольку нулевое решение всегда является ее решением.

Система линейных уравнений, получающаяся из системы (1) заменой в каждом уравнении правой части нулем называется приведенной однородной системой, соответствующей данной системе уравнений.

Если система (1) совместна, то любое ее решение называется частным решением, а совокупность частных решений системы называется общим решением этой системы уравнений.

Теорема: Общее решение приведенной однородной системы уравнений, соответствующее системе (1) образует в арифметическом пространстве n- мерных векторов подпространство размерности n – r, где r – ранг матрицы системы. Любой базис этого пространства называется фундаментальным решением однородной системы.

Доказательство: Рассмотрим однородную систему:

, и пусть:

Пусть. Мы знаем, что dim L = r.

Пусть вектор. Он будет решением системы тогда и только тогда, когда. Таким образом, общим решением однородной системы является, а ее размерность n – r. ()

Разность двух частных решений неоднородной системы линейных уравнений является, очевидно, решением однородной системы линейных уравнений.

Отсюда следует, что среди частных решений неоднородной системы есть только одно, которое ортогонально всем решениям приведенной. Это решение называют нормальным.

В самом деле, если и – два нормальных решения, то ортогонально ко всем векторам общего решения однородной системы и также ортогонально ко всем векторам общего решения, но сам вектор является одним из решений однородной системы, следовательно, он ортогонален сам себе, значит,.

Общее решение неоднородной системы получается прибавлением к каждому вектору общего решения приведенной системы какого–либо частного решения неоднородной системы.

Для того, чтобы совместная система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся числу неизвестных.

Для того, чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Пусть матрица системы квадратная. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.

Рассмотрим систему:

Предположим, что определитель этой системы отличен от нуля. Тогда ранг матрицы системы равен n, а ранг расширенной матрицы тоже равен n, и тогда по теореме Кронекера – Капелли эта система совместна, более того, она имеет единственное решение.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №10 (2 семестр)

Тема: Правило Крамера. Обратная матрица.

Содержание:

Дата добавления: 2014-01-05