Изоморфизм евклидовых пространств

Длины, углы и расстояния.

Определение: Пусть Е – евклидово пространство, – произвольное его элемент, тогда длиной вектора называется. У каждого вектора из Е длина существует, причем по аксиоме 4 она положительна для ненулевого вектора и равна нулю для.

Для любого действительного числа l и любого вектора из Е:

Определение: Для векторов и из Е углом между ними называется угол, определяемый соотношением:

Рассмотрим произвольный треугольник в Е. Из теоремы косинусов вытекает, что:

Þ (1)

В евклидовом пространстве Е длина стороны треугольника не превышает суммы двух длин других его сторон, но не меньше абсолютной величины разности этих сторон.

Определение: Расстоянием r между векторами и из Е называется длина вектора: (2).

Расстояние обладает следующими свойствами:

1)

2)

3) – неравенство треугольника.

Доказательство:

Свойства 1 и 2 вытекают из определения.

Свойство 3 получается если в первом уравнении системы (1) произвести замену:,

Утверждение: Пусть в Е выбран ортонормированный базис.

Векторимеет разложение, а вектор:.

Тогда:

Длина векторавычисляется по формуле:,

А угол между векторамии:

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №5 (2 семестр)

Тема: Теорема косинусов и Пифагора. Изоморфизм евклидовых пространств. Критерий изоморфности.

Содержание:

В силу неравенства Коши – Буняковского.

Пусть, – произвольные векторы пространства Е. Если считать их сторонами треугольника, то естественно считать третьей стороной треугольника вектор. Найдем длину:

- теорема косинусов.

Если треугольник прямоугольный, то =0 и мы получаем теорему Пифагора:.

Определение: Пусть Е и Е` – два евклидовых пространства. Они называются евклидово изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух векторов из и их образов из Е`:.

Теорема: Для того, чтобы два евклидовых пространства были евклидово изоморфными, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковую размерность.

Доказательство:

(необходимость) Пусть пространства Е и Е` – евклидово изоморфны, тогда в соответствии с определением евклидова изоморфизма они изоморфны как линейные пространства, а любые два линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

(достаточность) Пусть. Выберем (1) – ортонормированный базис Е, и пусть – ортонормированный базис Е`.

Возьмем произвольный вектор. Так как система (1) – базис пространства Е, то (3), а образ будем искать по формуле (4).

Легко видеть, что построенное нами правило является биективным отображением линейного пространства Е в линейное пространство Е`, более того, оно является изоморфизмом между Е и Е` как линейными пространствами.

Возьмем произвольные векторы и, а их образы вычислим по формуле (4):,.

Определение изоморфизма содержит требования равенства скалярных произведений (,) = (T(), T()), где Т – линейный изоморфизм. Однако это преобразование равносильно другому =| T()|.

Покажем это. Если (x,y) = (T(x),T(y)), то (x,x) = (T(x), T(x)) ó |x|² = | T(x)|²ó |x| = | T(x)|. Если |x| = | T(x)|, то |x-y| = | T(x-y)| => |x-y| =
| T(x) – T(y)| => |x-y|² = | T(x) – T(y)|²= > (x-y)² = (T(x) – T(y))² => |x|² – 2(x,y) + |y|² = | T(x)|² – 2(T(x) – T(y))² + | T(y)|² => -2(x,y) = -2(T(x), T(y)) т.к. по предположению |x| = | T(x)| => (x,y) = (T(x), T(y)).

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №6 (2 семестр)

Тема: Наклонная, перпендикуляр и проекция в евклидовом пространстве. Унитарное пространство.

Содержание:

Дата добавления: 2014-01-05