Наклонная, перпендикуляр и проекция в евклидовом пространстве

Рассмотрим сначала эти понятия в пространстве радиус–векторов, закрепленных в точке О (V₃). Пусть дана плоскость L. Выберем на плоскости точку О и рассмотрим множество всех радиус–векторов, закрепленных в этой точке.

Из некоторой точки М опустим на эту плоскость перпендикуляр. М_L– основание этого перпендикуляра. Построение перпендикуляра, опущенного из точки М на плоскость L сводится к разложению вектора в сумму:

(1), где.

Так как из точки М можно провести только один перпендикуляр, на плоскость L, то такое разложение существует и единственно.

Пусть теперь Е – произвольное евклидово пространство, и пусть L – некоторое его подпространство. Возьмем произвольный вектор и представим его в виде суммы: (2), где.

Определение: Вектор в разложении (2) называется проекцией вектора на подпространство L, вектор называется перпендикуляром, опущенным из на L, а сам вектор называется наклонной к подпространству L.

Заметим также, что условие эквивалентно условию, а так как евклидово пространство Е представимо в виде, то разложение (2) существует и единственно. Векторы и в разложении (2) ортогональны, и тогда по теореме Пифагора, откуда вытекает, что, т.е. длина наклонной не меньше длины перпендикуляра. тогда и только тогда, когда. Рассмотрим введенное понятия наклонной, перпендикуляра и проекции с алгебраической точки зрения: при фиксированном подпространстве L любой вектор евклидова пространства Е однозначно определяет по отношению к этому подпространству две своих компоненты, а именно: компоненту, которая называется проекцией и компоненту, называемую перпендикуляром, следовательно, можно считать, что разложение (2) определяет две функции и. Аргументами этих функций служат все векторы из Е, значением функции является вектор из L, а значением функции является вектор, принадлежащий.

Так как, то проекция вектора, а. Возьмем произвольные векторы и, принадлежащие Е.

Откуда следует, что

(7)

Аналогично выводятся соответствующие выражения для функции ort:

(8)

Заметим, что для любого вектора, принадлежащего L,. Из первого равенства системы (8) следует, что, следовательно, значение функции орт не меняется, если к аргументу прибавить любой вектор из подпространства L, в частности, если взять в качестве –, то получим, аналогично.

Пусть теперь подпространство L является ортогональной суммой L₁ и L₂. Произвольный вектор евклидова пространства Е можно представить в виде:, где, а.

Таким образом,.

Перпендикуляр, опущенный из вектора на подпространство, равен одному из выражений.

Если, то.

Дата добавления: 2014-01-05