Умножение матриц

Действия над матрицами. Определители. Линейные уравнения.

Унитарные пространства.

Определение: Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если любой паре векторов из U поставлено в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением, причем выполнены следующие аксиомы:

1)

2)

3)

4)

Примером унитарного пространства может служить С_n (арифметическое пространство n-мерных векторов), если для векторов и скалярное произведение выполняется по формуле:

В унитарном пространстве U, так же, как и в вещественном, вводится понятие длины:.

У любого ненулевого вектора длина больше 0, а длина нулевого вектора равна 0.

Для произвольного комплексного числа и любого вектора, принадлежащего U. Также, как и в R_n, в С_n выполняется неравенство Коши–Буняковского:.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №7 (2 семестр)

Тема: Действия с матрицами. Определитель n-го порядка и его свойства.

Содержание:

Пусть М – произвольное множество. Под матрицей размера мы будем понимать прямоугольную таблицу A, составленную из элементов множества M:

Если m=n, то матрицу A называют квадратной.

Если в М определена операция сложения, то сложение можно определить и на множестве матриц вида:

(1)

Если множество М ассоциативно, то ассоциативным будет и сложение матриц.

Если сложение в М коммутативно, то коммутативным будет и соответствующее множество матриц.

Если в множестве М есть нейтральный элемент 0, то в множестве матриц вида также будет нейтральный элемент.

Если в множестве М для каждого элемента существует противоположный, то и в множестве матриц с введенной операцией сложения существует противоположный.

Таким образом, если множество – абелева группа, то множество всех матриц вида с операцией сложения, определенной по формуле (1) также является абелевой группой.

Пусть на М определена еще операция умножения и М – поле. Тогда для любого числа l, принадлежащего М и любой матрицы А вида можно определить умножение матрицы на число.

(2)

Легко проверить, что помимо четырех аксиом абелевой группы, которые выполняются на множестве всех матриц вида, выполняются также следующие свойства:

Относительно введенных операций (1) и (2) множество всех матриц является линейным пространством.

Пусть даны матрица вида и матрица вида. Тогда произведением матриц будет матрица вида и обозначаемая, где коэффициенты вычисляются по формулам:

(1строка)

(2 строка)

............................................................................

Умножение матриц вида на матрицы вида не коммутативно.

В случае, когда для матиц А, В, С имеет смысл и, то выполняется ассоциативность.

Рассмотрим множество квадратных матриц порядка n. В этом множестве определены операции сложения и умножения. Относительно этих операций множество квадратных матриц образует кольцо.

Пусть,.

Сложение и умножение связаны дистрибутивными законами:

Рассмотрим матричное уравнение. Если бы для матрицы А существовала матрица, такая что, то умножая слева обе части этого матричного уравнения на, мы бы получили:

Пусть Х – произвольная квадратная матрица порядка n, положим по определению, так как умножение всегда определено, и в результате получается также матрица порядка n, то можно говорить о возведении в степень.

Для степеней имеет место соотношения:,.

В более общем случае для любых двух квадратных матриц одного и того же порядка, если, то.

Рассмотрим множество всех многочленов всех степеней с коэффициентами из поля Р. Известно, что в множестве всех многочленов определены операции умножения и сложения:

Если

,,

Тогда

,, причем если, то.

,.

Множество относительно таким образом введенных операций является кольцом.

Пусть – произвольный многочлен, а А – произвольная квадратная матрица, тогда рассмотрим выражение: (2). Выражение (2) называется матричным многочленом. – матрица того же порядка, что и А. Если любому многочлену поставить в соответствие матричный многочлен, то получим множество всех матричных многочленов, поскольку является коммутативным кольцом с единицей, то и множество также является коммутативным кольцом с единицей.

Дата добавления: 2014-01-05