Властивості відображень

Загалом при відображенні f: A ® В елемент із В може бути образом не одного, а кількох елементів із А.

Означення 3.6. Сукупність усіх елементів, образом яких є заданий елемент b, називається повним прообразом елемента b і позначається f ^–1 (b). Сукупність елементів f (а), які є образами всіх елементів множини СÌА, називається образом множини С та позначається f (С). Сукупність усіх елементів із А, образи яких належать якійсь множині DÌB, називається повним прообразом множини D і позначається f ^–1 (D).

Наприклад, нехай А = {1,2,3,4} та B = {5, 6, 7, 8, 9}, а f = {(1,5), (2,6), (2,7), (3,8), (3,5)}. Тоді повним прообразом елемента “5” з множини В буде f ^–1 (5) = {1,3}. Нехай також C = {1,2}. Тоді образ множини С буде f (C) = {5,6,7}. Нехай D = {6,7}. Тоді f ^–1 (D) = {2}.

Теорема 3.1. Нехай f є відображення f: A ® В. Тоді справедливі наступні властивості відображень:

а) Якщо XÌY, то f (X)Ì f (Y), f ^-1 (X)Ì f ^-1 (Y),

б) f (XÈY) = f (X) È f (Y), f ^-1 (XÈY) = f ^-1 (X) È f ^-1 (Y),

в) f (X\Y) = f (X) \ f (Y), f ^-1 (X\Y) = f ^-1 (X) \ f ^-1 (Y),

г) f (XÇY) = f (X) Ç f (Y), f ^-1 (XÇY) = f ^-1 (X) Ç f ^-1 (Y),

д) f ^–1 (X’) = (f ^–1)’(X).

Доведення.

Розглянемо перше твердження пункту б) f (XÈY) = f (X) È f (Y). Отримаємо наступне:

f (a)Î f (XÈY) Þ aÎXÈY Û aÎX або aÎY Þ f (a)Î f (X) або f (a)Î f (Y) Û f (a)Î f (X) È f (Y) Þ f (XÈY) Í f (X) È f (Y).

f (a)Î f (X) È f (Y) Û f (a)Î f (X) або f (a)Î f (Y) Þ aÎX або aÎY Û aÎXÈY Þ f (a)Î f (XÈY) Þ f (X) È f (Y) Í f (XÈY).

З цих двох результатів отримуємо, що f (XÈY) = f (X) È f (Y).

Розглянемо друге твердження пункту б) f ^-1 (XÈY) = f ^-1 (X) È f ^-1 (Y). Отримаємо наступне:

aÎ f ^-1(XÈY) Þ f (a)Î XÈY Û f (a)ÎX або f (a)ÎY Þ aÎ f ^-1(X) або aÎ f ^-1(Y) Û

aÎ f ^-1(X) È f ^-1(Y) Þ f ^-1(XÈY) Í f ^-1 (X) È f ^-1 (Y).

aÎ f ^-1 (X) È f ^-1 (Y) Û aÎ f ^-1(X) È aÎ f ^-1(Y) Þ f (a)ÎX або f (a)ÎY Û f (a)Î XÈY Þ

aÎ f ^-1(XÈY) Þ f ^-1 (X) È f ^-1 (Y) Í f ^-1(XÈY).

Тому отримуємо, що f ^-1 (XÈY) = f ^-1 (X) È f ^-1 (Y).

Розглянемо перше твердження пункту в) f (X\Y) = f (X) \ f (Y). Отримаємо наступне доведення:

f (a)Î f (X\Y) Þ aÎX\Y Û aÎX та aÏY Þ f (a)Î f (X) та f (a) Ï f (X) Û f (a)Î f (X)\ f (Y) Þ f (X\Y) Í f (X) \ f (Y),

Випадок зворотного включення f (X) \ f (Y) Í f (X\Y) доводиться аналогічно і тому отримуємо, що f (X\Y) = f (X) \ f (Y).

Розглянемо друге твердження пункту г) f ^-1 (XÇY) = f ^-1 (X) Ç f ^-1 (Y). Отримаємо наступне доведення:

aÎ f ^-1 (XÇY) Þ f (a)Î XÇY Û aÎX та aÎY Þ aÎ f ^-1 (X) та aÎ f ^-1 (Y) Û aÎ f ^-1 (X) Ç f ^-1 (Y) Þ f ^-1 (XÇY) Í f ^-1 (X) Ç f ^-1 (Y).

Випадок зворотного включення f ^-1 (X) Ç f ^-1 (Y) Í f ^-1 (XÇY) доводиться аналогічно і тому отримуємо, що f ^-1 (XÇY) = f ^-1 (X) Ç f ^-1 (Y).

Решту тверджень читачеві пропонується довести самостійно. ►

Означення 3.7. Нехай функцію f: A ® В задано на А, f ₁ – на множині CÌA, причому для кожного aÎA виконується f (a) = f ₁(a). Тоді f ₁ називається обмеженням (звуженням) функції f на С, а f – продовженням функції f ₁ на А.

Наприклад, функція f (а) = а³, яка задана на множині дійсних чисел, відображає цю множину на себе. Якщо ввести обмеження, щоб область визначення була лише множиною цілих чисел, то дістанемо звуження f ₁(а) функції f (а) на цілих числах. Причому f ₁(а) відображає множину цілих чисел, але не на саму себе, оскільки не кожне ціле число є кубом самого себе.

Дата добавления: 2014-01-05