Коректність задач

І

При розв'язуванні задачі можуть бути використані і деякі інші варіанти.

Аналогічно можна розв'язувати і другу обернену задачу теорії похибок, коли потрібно підібрати граничні абсолютні чи відносні похибки аргументів так, щоб відносна похибка функції не перевищувала наперед заданої величини.

Вправи.

1. Визначити точність, з якою треба виконувати обчислення, щоб знай­
ти результат з точністю 0,5-10 ³:

*)»=.- 0.0327*+ /л л-£ [0,7; 2,3];

' ^у 0,4231*+ 0,9248

б)у=-іяК», КЄ[);5].

2. Корені рівняння х^г — 2х-\- 1§3 = 0 треба знайти з чотирма пра­
вильними значущими цифрами. З якою точністю треба взяти вільний
член рівняння?

Розглянемо тепер питання так званої коректності. Біль­шість задач, які доводиться розв'язувати, можна записати у вигляді у = А (х), де х — деяка відома величина, у — шука­на величина, А (х) — задана функція (оператор). Зауважимо, що тут у і х можуть бути числами, масивами чисел, функціями однієї чи багатьох змінних тощо.

Задача у = А (х) називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних х.з деякого класу розв'язок у існує, єдиний і стійкий за вхідними даними.

НОЗГЛЯНЄМО ПОНЯТТЯ іЛ'їитлл». Рішили

та задача, розв'язок якої неперервно залежить від вхідних да­них, тобто для таких задач | Ау | -> 0, коли | Ах | ->• 0. Якщо ця умова не виконується, то задача називається нестій­кою за вхідними даними. У цьому випадку навіть незначна похибка у вхідних даних може викликати як завгодно великі похибки в розв'язку, тобто розв'язок може бути зов­сім спотворений. Прикла­дом некоректної задачі є задача диференціювання (див. розділ VII).

Мал. 1

Якщо для похибок роз­в'язку і вхідних даних іс­нує співвідношення І Аг/1 ^ ^ с І Ах |, де с — досить велика константа, то зада­ча формально стійка, але неусувна похибка в цьому випадку може бути знач­ною. Це випадок так зва­ної слабкої стійкості (слабкої обумовленості). Для задовіль­ної практичної стійкості константа с, очевидно, повинна бути не досить великою.

Із слабкою стійкістю ми зустрічаємося, наприклад, при розв'язуванні систем лінійних алгебраїчних рівнянь, визнач­ник яких близький до нуля. Для таких систем похибки в кое­фіцієнтах системи або похибки округлення при розрахунках можуть призвести до результату, далекого від шуканого роз­в'язку. У випадку системи двох рівнянь з двома невідомими слабкій стійкості можна дати просту геометричну ілюстрацію. Слабкій стійкості такої системи геометрично відповідає пара майже паралельних прямих, причому невелика зміна нахилу чи зсув однієї з прямих істотно змінює положення точки пере­тину (мал. 1). Зауважимо, що близькість до нуля визначника системи є лише необхідною умовою слабкої стійкості, але не достатньою.

Примітка. Слід розрізняти стійкість задачі і стійкість алгоритму розв'язування задачі. Задача може бути стійка, а алгоритм її розв'язування

нестійкий.

Якщо при виконанні алгоритму, наприклад, доводиться обчислювати різницю близьких за величиною чисел (може, й не один раз), то це може призвести до великої похибки результату.

Для ілюстрації наведемо досить простий приклад на знаходження ко­ренів квадратного рівняння х² + рх + ц = 0, де р = — 120, д = 1.

Дата добавления: 2014-01-05