Потужності в трифазних колах

В загальному випадку потужності в трифазному колі (миттєва, активна, реактивна, повна) знаходяться як суми відповідних потужностей окремих фаз.

Визначимо потужності в симетричному трифазному колі.

Трифазне коло, в якому трифазне джерело енергії симетричне, а комплексні опори фаз приймача однакові, називається симетричним, тобто:

1. Е_A = Е_B = Е_C ; ψ_еА – ψ_еВ = ψ_еВ – ψ_еС = ψ_еС – ψ_еА=120⁰;

2. Z _A = Z _В = Z _С =Z e ^jφф.

Миттєва потужність трифазного кола дорівнює сумі миттєвих потужностей, що споживаються кожною фазою.

Нехай: u_A= U_m.ф sinωt, ψ_u=0;

i_A= I_m.ф sin(ωt- φ_ф), ψ_і = ψ_u - φ_ф =- φ_ф.

p = р_А +р_В +р_С = u_A i_A+ u_B i_B+ u_C i_C= U_m.ф sinωt I_m.ф sin(ωt-φ_ф) +

+ U_m.ф sin(ωt-120^◦) I_m.ф sin(ωt-φ_ф-120^◦) + U_m.ф sin(ωt-240^◦) I_m.ф sin(ωt-φ_ф-240^◦).

Враховуючи, що

sinα sinβ=1/2[cos(α-β)-cos(α+β)]; U_m.ф I_m.ф=2 U_.ф I_.ф ,

отримаємо:

p=U_ф I_ф [cosφ_ф- cos(2ωt-φ_ф)+ cosφ_ф- cos(2ωt-φ_ф-240^◦) +

+cosφ_ф- cos(2ωt-φ_ф- 480^◦)] =3U_фI_ф cosφ_ф ,

так, як сума трьох косинусоїд, зсунутих одна відносно іншої на ±240^◦ (чи на ±120⁰) рівна нулю.

Отже р = 3U_ф I_ф cosφ_ф = P = const,

тобто, миттєва потужність постійна, не залежить від часу і дорівнює активній потужності кола.

Трифазні кола, в яких миттєва потужність не залежить від часу, називаються врівноваженими. Це значить, що коли навантаженням є двигун, то обертаючий момент на валу двигуна буде сталим.

Активна потужність:

P = Р_А +Р_В +Р_С =3Р_ф =3R_ф І²_Ф =3 U_ф I_ф cosφ_ф

Виразимо активну потужність через лінійний струм та напругу.

При з’єднанні зіркою I_ф=I_л; U_л=U_ф; U_ф=U_л /,

при з’єднанні трикутником U_ф=U_л; I_л=I_ф; I_ф=I_л /.

Тому завжди P=3U_ф I_ф cosφ_ф= U_л I_л cosφ_ф,

де φ_ф –зсув фаз між напругою та струмом у фазах споживача.

Реактивна потужність:

Q = Q_А +Q_В +Q_С =3Q_ф =3X_ф І²_Ф =3 U_ф I_ф sinφ_ф =U_л I_л sinφ_ф.

Повна потужність:

S = S_А +S_В +S_С =3S_ф =3Z_ф І²_Ф =3 U_ф I_ф =U_л I_л =

Активну потужність в симетричному трифазному колі можна виміряти одним ватметром в одній із фаз, помноживши його вимір на три.

Для несиметричного трифазного кола миттєва потужність не є величиною постійною:

p = р_А +р_В +р_С = u_A i_A+ u_B i_B+ u_C i_C = f(t).

Така трифазна система називається неврівноваженою.

В цьому випадку потужності дорівнюватимуть:

1. P=P_A+P_B+P_C=U_AI_A cosφ_A+ U_BI_B cosφ_B + U_CI_C cosφ_C=R_AI_A² + +R_BI_B² + R_CI_C².

2. Q=Q_A+Q_B+Q_C= U_AI_A sinφ_A+ U_BI_B sinφ_B+ U_CI_C sinφ_C= X_AI_A²+ +X_BI_B²+ X_CI_C².

3. S = U _A I ^*_А+ U _B I ^*_B+ U _C I ^*_C =P+jQ.

Враховуючи, що для трифазного трипроводового кола

I ^*_A+ I ^*_B+ I ^*_C = 0, то I ^*_C= - I ^*_A - I ^*_B = 0, тоді:

S = U _A I ^*_A+ U _B I ^*_B - U _C I ^*_A - U _C I ^*_B= I ^*_A (U _A - U _C )+ I ^*_B (U _B - U _C ) =

= U _AC I ^*_A+ U _BC I ^*_B=P + j Q.

Отже S = U _AC I ^*_A+ U _BC I ^*_B=P+jQ.

Звідси визначимо активну потужність:

S = U_AC e^jφuAC I_A e^-jφA+U_BC e^jφuBC I_В e^-jφB= U _AC I_A e^{j(φuAC- φA)} +

+ U_BC I_B e^{j(φuBC- φB)} = U_AC I_A cos(φ_uAC -φ_A) + U_BC I_B cos(φ_uBC - φ_B)+

+j(U_AC I_A sin(φ_uAC - φ_A) + U_BC I_B sin(φ_uBC -φ_B))= P+jQ.

P = U_AC I_A cos(φ_uAC - φ_A) + U_BC I_B cos(φ_uBC - φ_B),

де U_AC = U_CА , φ_uAC = φ_uCА ±180⁰,

(U _AC = - U _CА ).

Тобто, для вимірювання активної потужності
в трипроводовому несиметричному трифазному колі можна використовувати два ватметра, ввімкнуті за схемою, приведеною на рис. 6.8.

Дата добавления: 2014-01-05