Упражнения. 1.На множестве X пря­моугольников (рис

1. На множестве X пря­моугольников (рис. 107) задано отношение «иметь равные площади». По­стройте граф отношения и докажите, что оно являет­ся отношением эквивалентности. Какие классы эквивалентности порождает это отношение на множестве X "?

Рис. 107

2. Объясните, почему отношение равенства отрезков является от­ношением эквивалентности, а отношение «короче» не является.

3. X - множество прямых плоскости. Какое из следующих отношений является отношением эквивалентности на этом множестве: а) «х параллельна у»; б) «х перпендикулярна у»; в) «х пересекает у»?

4. На множестве X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} задано отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 4». Является ли оно от­ношением эквивалентности?

5. Можно ли разбить множество Х= {7-3; 2², 5 · 2; 60: 6; 1+ 3; 0: 4; 0 ·10; 4:(10-10)} на классы при помощи отношения «иметь равные значения»?

6. На множестве X = {213, 37, 21, 87, 82} задано отношение Р - «иметь в записи одинаковые цифры». Является ли Р отношением эквивалентности?

7. На множестве целых чисел от 0 до 999 задано отношение К - «иметь в записи одно и то же число цифр». Покажите, что К - отношение эквивалентности. На сколько классов эквивалентности разби­вается данное множество при помощи отношения К? Назовите наименьший и наибольший элементы каждого класса.

8. Сколько классов эквивалентности порождает на множестве на­туральных чисел отношение «оканчиваться одной и той же циф­рой»? Назовите по одному представителю каждого класса.

9. X - множество отрезков. Какие из следующих отношений яв­ляются отношениями порядка на этом множестве: а) «х равно у»; б) «х длиннее у»; в) «х длиннее у в 3 раза»?

10. Упорядочивают ли множество натуральных чисел отношения: а) «больше в 2 раза»; б) «больше на 2»; в) «непосредственно следовать за»; г) «х - делитель у»?

11. Отношение Т- «иметь одно и то же число делителей» задано на множестве X = {1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Является ли Т отношением экви­валентности? Отношением порядка?

12. Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны; свой ответ обоснуйте:
а) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел рефлективно и симметрично.
б) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел анти­симметрично и транзитивно.
в) Отношение «х кратно у» на множестве натуральных чисел явля­ется отношением порядка.

13. Между множествами существуют отношения равенства, равномощности, «быть подмножеством». Какие из них являются отноше­ниями эквивалентности, а какие отношениями порядка?

14. Решите задачи для младших школьников и укажите свойства отношений, которые были при этом использованы:
а) Мальчик составил пирамидку из трех колечек: желтого, красно­го и зеленого. В каком порядке он расположил колечки, если желтое больше зеленого, а красное меньше зеленого?
б) Четверо учащихся получили разные оценки за контрольную работу. Игорь получил оценку выше, чем Петр, Петр ниже, чем Максим, но выше, чем Кирилл. Кто получил самую низкую оценку?

50. Основные выводы § 10

Изучив материал данного параграфа, мы познакомились со сле­дующими понятиями:

- бинарное отношение на множестве;

- отношение эквивалентности;

- отношение порядка.

Выяснили, что отношения на множестве задают так же, как и соот­ветствия. Узнали, что отношения на множестве могут обладать свой­ствами:

- рефлексивности;

- симметричности;

- антисимметричности;

- транзитивности;

- связанности.

В зависимости от свойств отношения делят на отношения эквива­лентности, отношения порядка и отношения, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.

Узнали, что существует тесная взаимосвязь между отношением эк­вивалентности на множестве X и разбиением этого множества на классы.

Дата добавления: 2014-01-06