Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства алгебраических операций

Читайте также:
  1. I Выполнение операций в АЛУ для чисел с фиксированной точкой
  2. II. Назначение и боевые свойства химического и биологического оружия
  3. Z-преобразование и его свойства
  4. Алгебраических уравнений методом Зейделя
  5. Алгоритм и его свойства
  6. Алгоритм и его свойства
  7. Алгоритм. Свойства алгоритмов
  8. АЛГОРИТМЫ ВЫПОЛНЕНИЯ МИКРООПЕРАЦИЙ.МИКРОПРОГРАММЫ.
  9. Анализ операций с клиентами туристической фирмы
  10. Анализ эффективности импортных сделок для торговых операций
  11. Анализ эффективности лизинговых операций
  12. Анализ эффективности лизинговых операций



Упражнения

1. Сформулируйте условия, при которых операция, заданная на множестве X:

а) будет алгебраической; б) не будет алгебраической.

2.Объясните, почему сложение и умножение являются алгебраиче­скими операциями на множестве 2 целых чисел, а деление не является.

3.На множестве X={-1,0,1} заданы сложение, умножение и вычитание. Являются ли они алгебраическими на этом множестве?

4.Являются ли алгебраическими операции: сложение, умножение,
деление и вычитание, заданные на множестве X, если:

a) Х- множество четных натуральных чисел;

б) X - множество нечетных натуральных чисел;

в) Х- множество натуральных чисел, кратных 5?

5. Среди следующих высказываний укажите истинные, ответ обос­нуйте:

а) Множество N натуральных чисел замкнуто относительно умножения.

б) Множество Q рациональных чисел замкнуто относительно де­ления (деление на нуль не рассматривается).

в) Множество Z целых чисел замкнуто относительно вычитания и деления.

г) Множество Z целых чисел замкнуто относительно вычитания или деления.

6. Являются ли алгебраическими на множестве натуральных чисел следующие операции:

а) возведение в степень;

б) нахождение наибольшего общего делителя двух чисел;

в) нахождение наименьшего общего кратного двух чисел?

7.Дано множество {а, Ь, с}. Составьте множество X всех его подмножеств. На этом множестве X рассмотрите операции пересечения и объединения. Являются ли они алгебраическими?

8.В начальном курсе математики сложение рассматривают сначала на отрезке натуральных чисел от 1 до 9 (включительно), затем на отрезке от 1 до 100, затем от 1 до 1000, Является ли оно алгебраиче­ской операцией на этих множествах?

Известно, что сложение и умножение чисел обладает свойствами коммутативности, ассоциативности, умножение дистрибутивно отно­сительно сложения. Аналогичными свойствами обладают объедине­ние и пересечение множеств.

Рассмотрим свойства алгебраических операций, определив их в общем виде. При этом условимся алгебраические операции обозна­чать символами: * (читается - «звездочка») и о (читается - «кружок»).

Важнейшим свойством алгебраических операций является свойство ассоциативности.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множествеX, называется ассоциативной, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняется равенство

(x*y)*z=x*(y*z).

Если операция * обладает свойством ассоциативности, то можно опускать скобки и писать x*у*z вместо (х*у)*z и х*(у*z).

Например, ассоциативно сложение натуральных чисел: для любых на­туральных чисел х, у и z выполняется равенство + у) + z = x + (у + z). Ассоциативно сложение рациональных и действительных чисел. По­этому сумму нескольких чисел можно записывать без скобок.



Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством ассоциативности. Так, не является ассоциативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х, у и z, для которых (х - у) - z ≠ х - (у - z). Например, (12 - 7) - 3 ≠ 12 - (7 - 3).

Ассоциативность алгебраической операции * позволяет записывать без скобок все выражения, содержащие лишь эту операцию, но пере­ставлять входящие в это выражение элементы, вообще говоря, нельзя. Перестановка элементов возможна лишь в случае, когда операция * коммутативна.

Определение. Алгебраическая операция * на множестве X называ­ется коммутативной, если для любых двух элементов х и у из мно­жества X выполняется равенство

х*у = у*х.

Примерами коммутативных операций могут служить сложение и умножение натуральных чисел, поскольку для любых натуральных чисел х и у выполняются равенства х + у = у + х, х · у = у · х. Эти равен­ства справедливы не только для натуральных чисел, но и для любых действительных чисел, следовательно, на множестве действительных чисел сложение и умножение тоже коммутативны.

Существуют алгебраические операции, не обладающие свойством коммутативности. Так, не является коммутативным вычитание целых чисел: существуют целые числа х и у, для которых х - у ≠ у - х. На­пример, 12-7≠7-12.

Если на множестве X заданы две алгебраические операции * и о, то они могут быть связаны друг с другом свойством дистрибутивности.

Определение. Алгебраическая операция о называется дистрибу­тивной относительно алгебраической операции *, если для любых элементов х, у и z из множества X выполняются равенства:

1) (х*y)оz = (x o z)*(y o z) и 2) z o (х*у) = (z o х)*(z о у).

Если выполняется только равенство 1), то операцию о называют дистрибутивной справа относительно операции *; если же выполняет­ся только равенство 2), то операцию о называют дистрибутивной слева относительно операции *.

Выясним, в каких случаях различают дистрибутивность справа и слева.

Рассмотрим на множестве натуральных чисел две операции: воз­ведение в степень (она соответствует операции о в равенствах 1 и 2) и умножение (она соответствует операции * в равенствах 1 и 2). Тогда, согласно равенству 1, имеем: (х·у)z - = хzz. Как известно из алгебры, полученное равенство справедливо для любых натураль­ных чисел х, у и z, т.е. возведение в степень дистрибутивно справа относительно умножения. В соответствии с равенством 2, получа­ем х уz = хуz. Но это равенство выполняется не всегда, т.е. опера­ция возведения в степень не является дистрибутивной слева отно­сительно умножения. Такая ситуация является следствием того, что возведение в степень - операция, не обладающая свойством коммутативности.

Если взять сложение и умножение натуральных чисел, то, как из­вестно, умножение дистрибутивно относительно сложения: для лю­бых натуральных чисел х, у и z выполняются равенства

(x+y)·z + x·z + y·z и z·(x+y) = z·x + z·y

А так как умножение коммутативно, то не имеет значения, где писать множитель z - справа от суммы х + у или слева от нее. Поэтому в школьном курсе математики не различают дистрибутивность слева и справа, а говорят просто о дистрибутивности умножения относительно сложения.

Выясним роль свойства дистрибутивности в преобразованиях вы­ражений. Если операция о дистрибутивна относительно операции * и обе операции ассоциативны, то в любом выражении, содержащем лишь эти две операции, можно раскрыть все скобки, перед которыми (или за которыми) стоит знак °. Проиллюстрируем сказанное на при­мере преобразования выражения (x + у)·(z + р). Так как умножение дистрибутивно относительно сложения, то

(x + у)·(z + р)= x·(z + р) + у·(z + р)= (x·z + x·р) + (у·z + y·р).

А поскольку сложение ассоциативно, то последнюю запись можно за­писать без скобок. Следовательно, (x + у)·(z + р)= )=x·z + x·р +у·z + y·р.

Часто в множестве, на котором рассматривается алгебраическая операция, выделяются особые элементы, называемые в алгебре ней­тральными и поглощающими.

Определение. Элемент е из множества X называется нейтраль­ным относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*е=е*х =х.

Доказано, что если нейтральный элемент относительно алгебраической операции существует, то он единственный.

Определение. Элемент р из множества X называется поглощаю­щим относительно алгебраической операции *, если для любого эле­мента х из множества X выполняются равенства х*р=р*х=р.

Если поглощающий элемент относительно алгебраической опера­ции существует, то он единственный.

Так, в множестве Zо целых неотрицательных чисел нуль является нейтральным элементом относительно сложения, поскольку для любого х из множества Zо выполняются равенства х + 0 = 0 + х = х. Это же число нуль является поглощающим элементом относительно умноже­ния: для любого x из множества Zо верны равенства: х·0 = 0·х = 0.

Как известно, вычитание чисел является операцией, обратной сло­жению. Но чтобы дать определение обратной операции в общем виде, надоопределить понятие сократимой операции.

Определение. Алгебраическая операция *, заданная на множестве X, называется сократимой, если из условий а*х =а*у и х*а =у*а следует, что х =у.

Например, сократимо сложение натуральных чисел: из равенств а+х=а+у и х+а=у+а следует, что х= у.

Определение. Пусть * - сократимая и коммутативная алгебраи­ческая операция, заданная на множестве X. Тогда операция о назы­вается обратной для операции *, если х о у = z тогда и только тогда, когда у * z = х.

Тот факт, что вычитание на множестве целых чисел есть операция, обратная сложению, означает: z = х - у тогда и только тогда, когда у + z = х.

Множество X с заданными на нем алгебраическими операциями принято называть алгеброй. В начальном курсе математики в основном изучают множество Zо целых неотрицательных чисел, которое являет­ся объединением множества натуральных чисел и нуля: Zо = N U{0}. На этом множестве рассматриваются алгебраические операции сло­жения и умножения. Используя язык современной математики, можно сказать, что в начальной школе изучают алгебру (Zо, +, •). Ее основ­ные характеристики:

1) Сложение и умножение на множестве Zо ассоциативно и комму­тативно, а умножение дистрибутивно относительно сложения, т. е.:

(V х,у € Zо) х + у = у + х;

(V х,у € Zо) х·у = у·х;

(V х,у,z € Zо) (х + у) + z = х + (у + z);

(V х,у,z € Zо) (х·у)·z = х·(у·z);

(V х,у,z € Zо) (х +у)·z = х·z +у· z.

2) Сложение и умножение сократимы (исключая сокращение произ­ведения на нуль), т.е. для любых целых неотрицательных чисел х,у и а справедливы утверждения:

х + а= у + а => х = у

х·а = у·а => х = у.

3) Нуль является нейтральным элементом относительно сложения и поглощающим относительно умножения:

(V х € Zо) х + 0 = 0 + х = x:;

(V х € Zо) х· 0 = 0· x = 0.

Единица является нейтральным элементом относительно умножения:

(V х,у € Zо) х •1 = 1•x = x.

4) Сократимость сложения и умножения целых неотрицательных чисел позволяет определить в Zо частичные алгебраические операции вычитания и деления как обратные соответственно сложению и умно­жению (исключая деление на нуль):

x-у = z ó у + z = x

х:у~2 ó у-z = х.

5) Вычитание и деление обладают свойствами:

(a-c)+b, если а≥с

(а+b) – c= a+(b-c), если b≥c

а - (b + с) = - b) - с = (a - с) - b, если a ≥ b + с;

(a+b):c = a:c+b:c, если a:c и b:c;

(a:c)·b, если а:с

(а·b) : c= a·(b:c), если b:c

а:(b-с) = (а:b):с= (а:с):b, если a:b и a:c

Названные характеристики алгебры (Zо, +, •) присутствует (явно или неявно) в любом начальном курсе математики.





Дата добавления: 2014-01-06; Просмотров: 2127; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ip: 54.80.132.10
Генерация страницы за: 0.012 сек.