Множества

Человеческое мышление устроено так, что мир представляется состоящим из отдельных «объектов». Хотя с философской точки зрения окружающий мир является единым целым, человеку постоянно приходится выделять в нем объекты для того, чтобы сформировать доступную для рационального анализа картину мира. Выделение объектов и их совокупностей – естественный (или даже единственно возможный) способ организации нашего мышления.

На каждом шагу нам приходится сталкиваться c таким трудноопределимым понятием, которое можно выразить словом «совокупность». Например, можно говорить о совокупности людей, присутствующих в данный момент в данной комнате, о совокупности троллейбусных маршрутов в городе, совокупности видов рыб, совокупности специальностей в университете и т.п. В каждом из этих случаев вместо слова «совокупность» можно было бы употребить слово «множество».

Понятие множества является первичным в математике, поэтому оно не может быть определено с помощью других, более простых понятий (в математике такие первичные понятия называются категориями). На уровне интуиции множество рассматривают как нечто целое, состоящее из объектов, которые называют элементами множества. Создатель теории множеств Георг Кантор говорил, что «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Сегодня множество обычно рассматривают как объединение различных объектов, обладающих каким-то общим объединяющим признаком, но в то же время четко различающихся между собой. Природа этих объектов может быть произвольной: атомы, галактики, буквы, люди, животные, числа, книги, клавиши на клавиатуре и т.п. Объекты множества могут быть нереальными (воображаемыми).

В любом языке существует много синонимов, эквивалентных понятию множества. Например, такими синонимами являются область, класс, совокупность, система, бригада, коллекция, толпа, библиотека и т.п. Многие из этих понятий используются для обозначения множеств специального вида. Так, говорят о коллекции марок, о бригаде людей, но не говорят о коллекции людей и бригаде марок.

В большинстве случаев множество состоит из определенного конечного числа элементов, даже если их точное количество на данный момент неизвестно. Такие множества называются конечными. В математике постоянно приходится сталкиваться с так называемыми бесконечными множествами. К ним относятся, например, множество целых чисел (обозначается символом Z), множество вещественных чисел (обозначается символом R), множество рациональных чисел (обозначается символом Q), множество всех четных чисел, множество всех целых, дающих при делении на 11 в остатке 7, и другие.

Если элементы бесконечного множества можно пронумеровать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетным (несчетным – в противном случае). Например, множество четных чисел – счетное, множество действительных чисел – несчетное.

Конечные и счетные множества называют дискретными множествами. Дискретная математика рассматривает, преимущественно, дискретные множества.

Всякое множество состоит из элементов. Элементы множества обычно обозначаются малыми латинскими буквами, а само множество – большой латинской буквой. Знак Î используется для обозначения принадлежности элемента множеству. Запись a Î A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если некоторый объект x не является элементом множества A (не принадлежит множеству A), пишут x Ï A. Например, если A – множество четных чисел, то 2Î A и 1Ï A.

Способы задания множеств

Способы задания множеств могут быть различными, и выбор способа зависит как от количества элементов, из которых состоит множество, так и от природы этого множества.

Содержимое множества обычно заключается в фигурные скобки. Например, если задано множество четных чисел, больших 0 и меньших 10, то данное множество может быть записано так: A ={2, 4, 6, 8}. Подобный способ задания множества называется перечислением и применим для конечных множеств с небольшим количеством элементов. Примеры задания множества перечислением:

Множество стран, граничащих с Украиной:

B = {Россия, Беларусь, Польша, Молдова, Румыния, Венгрия, Словакия}.

Множество цветов радуги:

C = {красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый}

Множество дней недели:

D = {пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс}

Множество рабочих дней недели:

E = {пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс}

Множество возможных оценок студента на экзамене:

F = {A, B, C, D, E, FX, F}

Множество маршрутов трамвая, отправляющихся из района Южного автовокзала г. Донецка:

G = {1, 6, 9, 10, 3, 4, 8}.

Заметим, что множества типа {1, 2, 3, 2}, {a, b, c, b}, {пн, вт, ср, пн}, {синий, красный, синий, желтый, зеленый, красный} являются некорректными. Некорректность заключается в том, что в каждом из них присутствуют элементы, неотличимые друг от друга. Для устранения некорректности одинаковые элементы множества нужно сделать отличающимися друг от друга. С формальной точки зрения для этого можно, например, использовать индексы: {синий₁, красный₁, синий₂, желтый, зеленый, красный₂}.

Множества с большим количеством элементов и бесконечные множества могут быть заданы с помощью характеристического предиката или порождающей процедуры.

Характеристический предикат – это некоторое условие, позволяющее выделить элементы множества M среди элементов более широкого, или основного множества U. Если для данного элемента условие выполнено, то он принадлежит определяемому множеству, в противном случае – не принадлежит.

Пусть уже задано некоторое множество U, а также задано некоторое свойство P, которым какие-то элементы множества U обладают, а какие-то не обладают. Таким образом, задано множество M всех тех и только тех элементов из U, которые обладают свойством P. Свойство P есть характеристический предикат для множества M, а такой способ задания множеств – задание с помощью характеристического предиката. В общем виде для данного способа используется следующее обозначение:

M = { x | x Î U и P (x)} или M = { x Î U | P (x)}.

В данной записи символ | эквивалентен фразе «такие, что…», «где…». P (x) означает, что элемент x обладает свойством P. Запись читается как «множество всех x из U, обладающих свойством P». Если из контекста ясно, о каком множестве U идет речь, то пишут:

M = { x | P (x)}.

Вот несколько примеров задания множеств с помощью характеристического предиката.

Пример 1. Пусть N – множество натуральных чисел, и задано следующее множество:

M = { x Î N | x ³–5 x ²+6 x =0}.

Понятно, что M в данном случае можно задать и перечислением:

M = {2, 3}.

Пример 2. Множество четных чисел можно записать следующим образом:

M = { x | x – четное число}

или

M = { x Î Z | x – четно}.

Пример 3. Пусть имеет место следующая запись:

M = { x | x Î N, x >5, x <20, x – четное}.

В этом случае возможно следующее эквивалентное задание множества M с помощью перечисления:

M = {6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.

Пример 5. Пусть задано множество A, содержащее всех студентов группы. Тогда множество студентов-отличников данной группы можно задать так:

M = { x Î A | x – отличник}.

На практике задание множества с помощью характеристического предиката наталкивается на затруднения, связанные с неоднозначностью человеческой речи. Большое число промежуточных форм затрудняет точное разграничение объектов на принадлежащие и не принадлежащие данному множеству. Пусть, например, речь идет о множестве всех деревьев на земном шаре. В первую очередь здесь надо определить, идет ли речь обо всех деревьях, которые существовали и будут существовать на Земле, или о деревьях, существовавших в течение некоторого фиксированного промежутка времени (например, с 1 июня 2012 года по 31 августа 2012 года). Но тогда возникает вопрос: как быть с деревьями, спиленными за этот период времени? Кроме того, существует целый ряд промежуточных форм между деревьями и другими растениями, и надо решить, какие из них относятся ко множеству деревьев, а какие – нет.

Таким образом, характеристический предикат должен быть составлен таким образом, чтобы элементы множества определялись точно и без противоречий и их состав не вызывал сомнений.

Задание множества с помощью порождающей процедуры описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В таком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Формальная запись имеет следующий вид:

M = { x | x:= f }.

Вот несколько примеров данного способа:

M = { x | x =2 n +1, n Î N }

M = { x | x = a + b, a Î A, b Î B }

M = { x | x =2 ^k, k =1, 4, 7, 10…}

Два множества считаются равными (пишут A = B), если состоят из одних и тех же элементов. Например, множества A ={1, 2, 3, 4, 5} и B ={4, 1, 5, 3, 2} равны, поскольку порядок перечисления элементов во множестве не имеет значения (главное, что они там есть). Если же хотя бы один элемент присутствует только в одном из двух множеств, то такие множества считаются неравными (A ¹ B). Примеры неравных множеств:

A ={1, 2, 3} и B ={1, 2, 3, 4};

A ={1, 2, 3} и B ={1, 2};

A ={1, 2, 3} и B ={1, 2, 4};

A ={1, 2, 3} и B ={5, 6, 7};

A ={1, 2, 3} и B ={пн, вт, ср}.

A ={пн, вт, ср} и B ={ср, чт, пт}.

Дата добавления: 2014-01-06