Особые множества

Пустое множество.

Само название «множество» наводит на мысль, что каждое множество должно содержать много (по крайней мере, два) элементов. Однако в математике приходится рассматривать множества, содержащие только один элемент, и даже множество, не имеющее ни одного элемента. Это множество называют пустым и обозначают символом Æ или {} (пишут: A =Æ).

Для чего вводят пустое множество? Когда множество задается характеристическим предикатом, то не всегда заранее известно, существует ли хоть один элемент с таким свойством. Например, пусть множество A состоит из всех четырехугольников, таких, что все их углы прямые, а диагонали имеют различную длину.

Для человека, не знающего геометрии, ничего противоречивого в этих требованиях нет. Однако из теоремы о равенстве диагоналей прямоугольника следует, что множество таких четырехугольников пусто. Пусто и множество треугольников, сумма углов которых отлична от 180^o. Множество квадратных уравнений, имеющих более трех корней, тоже пусто. Пусты и некоторые множества нематематической природы: множество всех людей, возраст которых больше 500 лет; множество планет солнечной системы, ранее вращавшихся вокруг Сириуса; множество собак, умеющих разговаривать, множество рабочих моделей вечного двигателя и т.п. Для формального задания подобных множеств как раз и используется пустое множество.

Кроме того, можно придумать множества, о которых на данный момент неизвестно – пустые они или нет. Например:

– множество живых динозавров;

– множество дружественных инопланетных рас;

– множество действительных корней уравнения x³⁷–92x²³+301x²⁰–17x¹⁹+177x⁷+25x⁶–x³+99x²+x–3=0.

В математике принято, что пустое множество конечно и является частью (подмножеством) любого другого множества: Æ Í A.

Универсальное множество.

Важным понятием в теории множеств является понятие универсального множества или универсума. Универсальным называют множество, элементами которого являются все объекты, а также все возможные множества объектов рассматриваемой области. Универсальное множество обозначается символом U. В отличие от пустого, универсальное множество может выбираться самостоятельно в соответствии с решаемой задачей. Например, если в качестве универсального множества взять множество всех книг в библиотеке, то его элементами будут каждая из книг, а также следующие множества: множество художественных книг, множество книг по математике, множество книг по программированию и т.п.

Рассматривая множество студентов группы, в качестве универсального множества можно взять и множество студентов университета, и множество всех студентов на Земле, и множество всех людей, и множество всех живых существ. Слишком широкий круг объектов охваченный универсальным множеством, может усложнить последующую обработку этих объектов. В то же время слишком узко (хотя на данный момент и корректно) выбранный универсум может в дальнейшем потребовать расширения, что приведет к повторной обработке информации и дополнительным затратам времени и сил.

Если заданы множества A ={1, 2, 5} и B ={2, 3, 4, 5}, то в качестве универсального может быть выбрано множество U₁ ={1, 2, 3, 4, 5}. Хотя множество U₂ ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} также является универсальным для множеств A и B, оно содержит большее количество элементов, которые, скорее всего, при обработке множеств не понадобятся. Однако использование множества U ₂ требует хранения всех его элементов, в том числе и «бесполезных», что при написании компьютерных программ приводит к лишнему расходу памяти компьютера.

Дата добавления: 2014-01-06