Двумерное нормальное распределение

Непрерывная случайная величина (X,Y) имеет двумерное нормальное распределение, если ее плотностью распределения равна

,

где m_x=M[X], m_y=M[Y], s_x=,s_y=, r_xy=-коэффициент корреляции, k_xy=M[(x-m_x)(y-m_y)]- ковариация.

Отсюда следует, что

,

,

т.е. если (X,Y) распределена нормально, то и каждая ее составляющая случайная величина распределена нормально.

Если коэффициент корреляции r_xy=0, т.е. величины X и Y некоррелированны, то легко получить, что

f(x,y)=f₁(x)×f₂(y),

т.е. для двумерного нормального распределения понятия некоррелированности и независимости равносильны.

Если X и Y - независимые случайные величины, имеющие нормальные распределения, то

P(a<X<b;g<Y<d)=P(a<X<b)×P(g<Y<d)=

={Ф()-Ф()}{Ф()-Ф()}

С геометрической точки зрения график плотности представляет собой “гору” c достаточно крутыми склонами, вершина которой находится в точке (m_x,m_y). Линиями уровня служат эллипсы

с центром в т. (m_x,m_y), большая полуось которых имеет при r_xy>0 положительный наклон к оси абсцисс 0х. По мере удаления от центра плотность нормального распределения очень быстро убывает и стремится к нулю.

На рис.12 представлены линии уровня- эллипсы, ограничивающие область, в которые случайный вектор попадает с вероятностями 0,5; 0,9; 0,99.

Рис.12

Говорят, что X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью, если обе функции регрессии Y на X и X на Y линейны.

Имеет место следущая важная теорема.

Теорема (без доказательства ). Если двумерная случайная величина (X,Y) распределена нормально, то X и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Например, если (X,Y) распределена нормально, причем m_x=3, m_y=1, s_x=, s_y=1, k_xy=2, то r_xy=и

=

= ,

Прямая среднеквадратической регрессии Y на X

y=kx+b, где k=, b= m_y - k×m_x

имеет вид y=.

Дата добавления: 2014-01-06