Действия над событиями

Случайные события, их классификация.

Предмет теории вероятности

Введение.

Яков Бернулли (1654-1705)

детерминическими (определенными).

А, В, С,....

Пример 1. Опыт: бросание игральной кости; событие А — выпадение 5 очков, событие В — выпадение четного числа очков, событие С — выпадение 7 очков, событие D — выпадение целого числа очков, событие Е — выпадение не менее 3-х очков,....

w ₁,w₂,…,w_n

Ώ.

Рассмотрим пример 1. Здесь 6 элементарных событий w ₁ ,w ₂ ,w ₃ ,w ₄ ,w ₅ ,w ₆. Событие w_i означает, что в результате бросания кости вы­пало i очков, i=1,2,3,4,5,6. Пространство элементарных событий таково: Ώ={ w ₁ ,w ₂ ,w ₃ ,w ₄ ,w ₅ ,w ₆ } или Ώ = {1,2,3,4,5,6}.

Ώ.

Ǿ.

А₁, А₂, …, А_n

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Произведением событий А и В называется событие С = А •В, состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. и А и В одно­временно).

Разностью событий А и В называется событие С = А — В, про­исходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В.

Противоположным событию А называется событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А (т. е. А означает, что событие А не наступило).

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А следует, что произойдет событие В; записывают А Í В.

Если А Í В и В Í А, то события А и В называются равными; записывают А = В.

Так, в примере 1. В = {2,4,6}, Е = {3,4,5,6}, А = {5}, D = {1,2,3.4,5.6}. Тогда: В + Е = {2,3,4,5,6}, BE = {4,6}, В-Е = {2}, = {1.2,3,4,6}, В ÍD, D =Ώ = {1.2.3.4.5.6}.

Операции над событиями обладают следующими свойствами:

1. А + В = В + А, А• В = В • А (переместительное);

2. (А + В)С = А• С + В• С, А• В + С = (А + С)(В + С) (распреде­лительное);

3.(А + В) + С = А +(В + С), (А• В) • С = А • (В • С) (сочетательное);

4.А + А = А, А • А=А

5.А + Ω = Ω, А•Ω = А;

6.А + = Ω, А•=Æ;

7.= Ω, = Æ, = А;

8.А - В = А • ;

9.= •и = + — законы де Моргана.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Рис. 4 А Í В

Пример 3. Доказать формулу А + В = А + В.

Используя некоторые из выше приведенных правил, получаем:

А+В = (А + В)Ώ = АΏ + ВΏ= AΏ + B(A+ ) = АΏ + (А+ )В = AΏ + AB + B = (Ώ + B)A + B = ΏA + B = A +В.

Таким образом, сумму любых двух событий можно представить виде суммы двух несовместных событий.

Геометрическое доказательство представлено на рис. 6.

Рис. 6

Дата добавления: 2014-01-06