Теорема

а) Если l₁ Î R – k -кратный корень, то k функций

– линейно независимые решения д. у. (1).

б) Если Î С – k -кратные корни, то 2 k функций

– линейно независимые решения д. у. (1).

Примеры. 1.

y _оо = С ₁ y ₁ + С ₂ y ₂ + С ₃ y ₃,

y ₁, y ₂, y ₃ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

Þ

2.

y _оо = С ₁ y ₁ + С ₂ y ₂,

y ₁, y ₂ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

3.

y _оо = С ₁ y ₁ + С ₂ y ₂,

y ₁, y ₂ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

4.

y _оо = С ₁ y ₁ + С ₂ y ₂ + С ₃ y ₃ + С ₄ y ₄,

y ₁, y ₂, y ₃, y ₄ –линейно независимые решения.

Характеристическое уравнение:

14.2. Метод неопределенных коэффициентов нахождения решения д. у. L_n [ y ] = f (x) с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

y _oн = y _oo + y _чн

y _oo находить научились,

y _чн тоже – методом вариации произвольных постоянных (Лагранжа).

В некоторых случаях вид одного из y _чн заранее ясен.

Вместо метода Лагранжа можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Частный случай 1. L_n [ y ] = P_m (x).

Правая часть уравнения есть многочлен степени m.

Þ y _чн тоже можно искать в виде многочлена.

а) при p_n ¹0 y _чн(x) той же степени m,

y _чн= A ₁ x^m + A ₂ x^{m –1}+ … + A_{m +1}.

б) при p_n = 0, если последнее ненулевое слагаемое в левой части уравнения имеет вид p_{n – k}y ^{( k )},

то степень многочлена y _чн(x) должна быть на k единиц выше, чем в правой части:

y _чн= x^k (A ₁ x^m + A ₂ x^{m –1} + … + A_{m +1}).

Замечание. В ситуацииа) характеристический многочлен заданного дифференциального уравнения не имеет корня l=0; в ситуацииб) у него есть корень l=0 кратности k.

Дата добавления: 2014-01-06