Функции двух аргументов

Геометрический смысл полного дифференциала.

Неявные функции и их дифференцирование

Тельная плоскость и нормаль к поверхности

Смысл полного дифференциала функции двух аргументов. Каса-

Неявные функции и их дифференцирование.Геометрический

Производные сложных функций

Частные производные

Определение. Частной производной по x от функции z = f(x,y) называется

предел отношения частного приращения к приращению при

Обозначается: _x = _2,1 =; ’_y = _2,1 = 1, можем записать

Пусть задана функция z = f(x,y), причём, тогда функция z есть сложная функция одной независимой переменной t и 2-х промежуточных аргументов x и y. Найдём производную этой сложной функции, зная частные производные,а также. Предполагаем, что x, y, z - дифференцируемые функции. Пусть независимая переменная t получит приращение, тогда и тоже получат приращение, можно представить

(1)

Разделим (1) на и перейдём к пределу, получим:

(2)

Можно показать, что = 0 и равенство (2) примет вид

(3)

Правило. Производная сложной функции по независимому аргументу равна:

частной производной функции по первому промежуточному аргументу, умноженному на производную промежуточного аргумента по независимому плюс частная производная функции по второму промежуточному аргументу, умноженному на производную второго промежуточного аргумента по независимому.

Пример. Найти если.

Решение. Используя формулу (3), получаем:

cost +.

. Пусть z = f(x,y), если y = y(x). Здесь z есть функция одной переменной x, y – промежуточный аргумент, но и x тоже можно считать промежуточным аргументом, поэтому можно применить формулу (3), положив в ней вместо t переменную x.

, окончательно (4)

=1

. Пусть z = f(x,y), причём x = x(u,v), y = y(u,v). Найдём частные производные и. Следуя правилу, получим

(5)

Пример. Дана функция z =, где u =, v =. Найти,.

Решение. Здесь u и v - промежуточные аргументы, а x, y – независимые, поэтому формулы (5) перепишем.

+ = 2y

ЛЕКЦИЯ 9. Инвариантностьформы полного дифференциала.

Инвариантность формы полного дифференциала

Пусть задана функция z =f(x,y). Известно, что dz =,

покажем, что эта форма сохраняется, когда.

Доказательство. Так как u, v независимые переменные,тоdz =.

Используя правила дифференцирования сложной функции,получаем dz = du + = = ч.т.д.

dx dy

Пусть F(x,y,z) = 0, где z – функция от x, y.Найдём z’_x и z’_y. Зафиксируем y = const, тогда F(x,y,z(x,y)) = 0, дифференцируем по правилам сложной функции F’_{x y}+ F’_z z’_y = 0

Пример. Найти частные производные первого порядка функции z по переменным x и y, если функция задана неявно

Решение. Обозначим F(x,y,z) =, тогда F’_x = 2xy; F’_y = x²; F’_z =. Подставляем в формулы.

Пусть задана функция z = f(x,y) и точка x= x₀,y = y₀ . Графиком этой функции является поверхность T_x

Z Рассмотрим сечение этой поверх-

ности плоскостями y=y₀ и x =x₀.

M₀ M₀T_x и M₀T_y – касательные к ли-

T_y ниям пересечения поверхности

с плоскостями x= x₀,y = y₀.

y Прямая M₀T_x лежит в плоскости

0 y = y₀ параллельной плоскости

OXZ и является касательной в

точке М₀ её уравнение имеет

x вид:

z-z₀ = f’_x (x₀,y₀) (x – x₀), y = y₀.

А налогично уравнение касательной М₀ Т_y z – z₀ = f’_y (x₀,y₀) (y-y₀), x = x₀.

Эти прямые лежат в касательной плоскости, уравнение которой можно записать в виде z – z₀ = A (x – x₀) + B (y – y₀), определим А и В. Уравнение каса-

тельной М₀ Т_x y = y₀, подставим в уравнение касательной плоскости, получим:

, аналогично получим, что В = уравнение касательной плоскости.

_xy;;

В общем виде можно записать: читается так: частная производная от функции z, взятая по переменной x p –раз и по переменной y-(n-p) раз.

Пример. Вычислить все производные 2-го порядка от функции f(x,y) = x²y+y³.

Решение.;;;.

Видим, что смешанные производные = равны между собой и это не случайно.

Теорема. Если функция z = f (x,y) и её частные производные f’_x, f’_y , f’’_xy,f’’_yx, определены и непрерывны в точке М (x,y), то в этой точке.

Без доказательства.

Пример. Доказать, что =, если z =.

Решение. =)

)+ x=

= +)). Ч.т.д.

Дата добавления: 2014-01-06