Экстремума функции двух переменных

Достаточные условия существования

Необходимый признак существования экстремума функции

Экстремум функции двух переменных

Дифференциалы высших порядков

Пусть задана функция z = f(x,y), полный дифференциал этой функции записывается так dz = f’_x (x,y) dx + f’_y (x,y) dy.

Определение. Полным дифференциалом второго порядка называется полный дифференциал от полного дифференциала 1-го порядка при условии, что dx и dy считаются постоянными.

d² z = d = dx + = + + + = + 2 +

Приняты обозначения = dx²; = dy², окончательно

Для получения дифференциалов 3-го и n- го порядков используют такой формализм d²z = ²; d³z = ³ ……. Раскрывают скобки по формулам сокращённого умножения

d³z = ³ =.

Определение. Функция z = f(x,y) имеет максимум (max) в точке М (x₀,y₀), если f(x₀,y₀) > f(x,y) для любых точек (x,y), близких к точке (x₀,y₀) и отличных от неё.

Определение. Функция z = f(x,y) имеет минимум (min) в точке P (x ₁,y ₁), если f(x ₁,y ₁)< f(x,y) для любых точек (x,y), близких к точке (x ₁,y ₁) и отличных от неё. Геометрически это можно представить так:

z

0 M y

x P

Если в точке Р₀ (x₀,y₀) дифференцируемая функция z = f(x,y) имеет экстремум, то её частные производные в этой точке равны нулю.

= 0,= 0,

x=x₀ x=x₀

y=y₀ y=y₀

Доказательство. Пусть функция z = f (x,y) в точке Р₀ имеет экстремум ю. Согласно определению экстремума функции z = f (x,y) при y = y₀,как функции одного аргумента x, достигает экстремума при x = x₀. Известно, что необхо-

димым условием этого является обращение в нуль производной по x от функции f (x,y₀) при x = x₀, то есть =0 при x=x₀,y=y₀. Аналогично, функция z= f(x,y) при x=x₀, как функция одного аргумента y, необходимым условием существования имеет условие = 0 при x=x₀,y=y₀. ч.т.д.

Определение. Точка P₀ (x₀,y₀), координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции z = f (x,y), называется стационарной точкой функции z = f (x,y).

Пример. Найти стационарные точки функции z = 2x³ +xy² +5x² +y².

Решение. Находим частные производные и приравниваем их к нулю Решаем эту систему, получаем четыре стационарные точки М₁ (0,0); М₂ (-; М₃ (-1,2); М₄ (-1,-2).

Пусть точка Р₀ (x₀,y₀) является стационарной точкой функции z = f (x,y), то есть = 0,. Вычислим значения вторых частных произод-

Р₀ Р₀ ных в этой точке.

А =; В =; C =.

P₀ P₀ P₀

1). Если В² – АС < 0, то функция f(x,y) имеет в точке Р₀ экстремум.

Причём a). A < 0 или С < 0 - max.

б). А > 0 или С >0 - min.

2). Если В² – АС > 0, то точка Р₀ не является точкой экстремума.

3). Если В² – АС = 0, то ничего нельзя сказать о характере точки Р₀, нужны другие исследования.

Пример. Исследовать на экстремум функцию z = 2x³+xy²+5x²+y².

Решение. Стационарные точки для этой функции найдены в предыдущем примере. Найдём вторые частные производные. В точке М₁ А =(12x + 10) = 10; В = 0; С = (2x+2) = 2.

В² – АС = -20 < 0, 0,0 0,0

Экстремум есть, так как А иС > 0, то min в точке М₁.

В точке М₂ А =-10; В = 0; С = -. В² – АС = 0 – (-10)(- = - < 0, экстремум есть и так как А < 0, то в точке М₂ – max.

В точках М₃ и М₄ нет экстремума, так как В² – АС >0.

ЛЕКЦИЯ 11. Наибольшее и наименьшее значения функции

Дата добавления: 2014-01-06