Интегралы, зависящие от параметра

Несобственные интегралы

Определение. Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл вида

Теорема. Производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена верхним пределом, то есть интеграл есть первообразная для подынтегральной функции.

Доказательство. Придадим функции приращение

=

- = по теореме о разбиении интервала интегрирования можно записать:

dt, тогда

= = = f(c), c = f(c) { по определению производной}

г). Кривая задана в полярной системе координат,то есть вычислим площадь сектора

,,

B 1). Разобьём сектор АВ на

части

A 2). Площадь,

0

3). Площадь всего сектора запишется так для точного вычисления переходим к пределу это предел интегральной суммы, он равен определённому интегралу, то есть

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли

.

Решение. 0.

S = 4 =2 =.

Пример 2. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды

. 0

Решение. 0 2π S = =

= 4 =8.

. Вычисление объёма тела по известным поперечным сечениям

Пусть имеем тело Т, объём которого надо определить.

  b

0 T x

Рассечём тело плоскостями параллельными оси ох, площадь сечения обозначим, а объём каждого криволинейного цилиндра, объём всего тела V, точное значение объёма можно найти, переходя пределу. V = это интегральная сумма на отрезке [, она равна определённому интегралу, поэтому

(1)

Объём тела вращения

Пусть некоторая кривая y= f(x) вращается вокруг оси ох, найдём объём тела, полученного от вращения.

y M(x,y) В сечении этого тела получаются круги, радиусы

x   x    

b

x которых равны ординате точки M, S_кр. =,

0 по формуле (1) (2)

Аналогично, если тело получено от вращения вокруг оси oy, то

(3)

Пример. Найти объём тела, образованного вращением цепной линии вокруг оси ox, x.

Решение. Уравнение цепной линии y = используем формулу (2)

V = { -

y

  b

0 b x

Длина дуги кривой M₄

M₂

M₃, при длина ломаной стремится к длине дуги.

Определение. Длиной дуги называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число её звеньев неограниченно растёт.

1). Дуга задана в д.с.к. y = f(x) в явном виде.

Y = f(x) – непрерывна и непрерывна её производная f’(x).

Y

f(

A =

0 x =

=

dx.

, тогда;

, Пример. Найти длину кардиоиды.

Решение. dx в д.с.к.; d = dt,

если дуга задана параметрически; d = +

+ =

= кв.ед.

Механические приложения определённого интеграла

1). Статистические моменты дуг и фигур:

дифференциал длины дуги.

.

2). Моменты инерции дуг и фигур относительно оси ох и оy:

.

;

3). Координаты центра тяжести дуг и плоских фигур:

Определение. Определённые интегралы с конечными пределами от функции f(x, -2-х переменных, но интегрирование ведётся по одной из них.

F((1)

Примеры: Вычислить интегралы

1).

2)..

3).

Теорема. (О дифференцировании по параметру).

Если функция f(x, и её частная производная

Коротко. Производная по параметру равна интегралу от производной подынтегральной функции по этому параметру. (Это правило Лейбница).

Пример., дифференцируем обе части этого равенства по параметру

на [

. Формула трапеций. Суть этой формулы заключается в том, что кривую

y= f(x) заменяют ломаной и площадь всей криволинейной трапеции заме

няют суммой площадей прямолинейных трапеций. Площадь 1-й трапеции равна

Y; 2-й и так далее, то

+ +…+ или

.

Это и есть формула трапеций.

Y₁ y₂ y_n Абсолютная погрешность при вычислении

оценивается по формуле R_n

0 = x₀ x₁ x₂ x_n=b x где на [

Пример. Вычислить интеграл с помощью формулы трапеций при n= 8.

Решение. Составляем таблицу

i	xi	Xi^2	Yi=sin(xi^2)
		0,00	0,0000
	0,2	0,04	0,0400
	0,4	0,16	0,1593
	0,6	0,36	0,3523
	0,8	0,64	0,5972
	1.0	1,00	0,8415
	1,2	1,44	0,9915
	1,4	1,96	0,9249
	1,6	2,56	0,5487

.

R_n.

. Формула парабол (Формула Симпсона)

Разделим отрезок [ на чётное число равных частей n = 2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x₀,x₁] и[x₁,x₂] и ограниченной заданной кривой y = f(x) заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M₀(x₀,y₀), M₁(x₁,y₁), M₂(x₂,y₂) и имеющей ось параллельную оси oy. Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией

Y = Ax² +Bx +C. Коэффициенты A,B, C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через 3 заданные точки.Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапе-

ций и даёт приближённое значение интеграла.

y Здесь число точек деления 2m

M₃ произвольно, но чем больше это

M₀ M₂ число, тем точнее сумма в пра--

M₁ M₄ y = f(x) вой части следующего равенства.

0 x₀ x₄ x

Здесь n = 2m,. Это и есть формула Симпсона или формула парабол. R_n где.

Задача. Ширина реки =20м., промеры глубины в некотором поперечном её сечении через каждые 2м. дали следующую таблицу:

x
y	0,2	0,5	0,9	1,1	1,3	1,7	2,1	1,5	1,1	0,6	0,2

Найти площадь поперечного сечения реки по формуле Симпсона.

Решение. =

S = = 21,9м²

Многие интегралы не выражаются в элементарных (школьных)функциях:;

)dx, R – рациональная функция,

Они выражаются через специальные функции, например эллиптические функции или Гамма – функции, а определённые интегралы вычисляют приближёнными методами.

Дата добавления: 2014-01-06