Геометрические вероятности

Геометрические вероятности вводят для преодоления неприменимости классического определения вероятности к испытания с бесконечным числом исходов.

Геометрическая вероятность соответствует вероятности попадания точки в области – отрезок, часть плоскости и т.д.

Пусть отрезок ℓ составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена точка. При этом точка может оказаться в любом месте отрезка L, и вероятность попадания точки на отрезок ℓ пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. Тогда вероятность попадания точки на отрезке ℓ определяется равенством

Пример. На отрезке ОА длины L числовой оси ОХ наудачу поставлена точка В (х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую L/3. Вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение. Разобьем отрезок ОА точками С и Д на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадает на отрезок СД длины L/3. Искомая вероятность

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает, что брошенная точка может оказаться в любом месте G, и вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. Тогда вероятность попадания точки в фигуру g равна.

Пример. Задача о встрече. Два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет другого ¼ часа, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает время своего прихода между 12 и 13 часами.

Решение. Обозначим время прихода 1-го студента через x,

второго – через y. Встреча должна состояться между 12 и 13 часами, для простоты считаем, что между 0 и 1 часами, т.е.

0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

В прямоугольной системе координат это квадрат.

Рассмотрим его как фигуру G.

Встреча состоит, если выполняются неравенства:

y – х ≤ ¼, у > х (1-й студент пришел раньше)

х – у ≤ ¼, х > у (2-й студент пришел раньше)

Этими неравенствами определяется форма фигуры g

у

у > х

1

х > у

х

Дата добавления: 2014-01-06