Унимодальные функции

Определение 2.6. Функция называется унимодальной на отрезке , если она непрерывна на и существуют числа α, β: такие, что

1) монотонно убывает при (если );

2) монотонно возрастает при (если );

3) при , так что .

Множество унимодальных на отрезке функций мы будем обозначать через .

Отметим, что возможно вырождение в точку одного или двух отрезков из , и . Некоторые варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции показаны на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Графики унимодальных функций.

Из определения 2.6 вытекают следующие основные свойства унимодальных функций.

1. Любая из точек локального минимума унимодальной функции является и точкой ее глобального минимума на отрезке .

2. Функция, унимодальная на отрезке , является унимодальной и на любом меньшем отрезке .

3. Пусть и . Тогда:

если , то ; если , то ,

(2.2)

где - одна из точек минимума на отрезке .

Дата добавления: 2014-01-06