Влияние звена чистого запаздывания на устойчивость

Чистое запаздывание – это часть системы (цепь или блок), при прохождении которой сигнал не меняет своей формы, но задерживается на время T.

Типичный пример: локальная сеть без потерь или длинная линия, или транспортная задержка.

Покажем, что такому преобразованию соответствует передаточная функция; для этого вычислим преобразование Лапласа выходного сигнала:

Wзап(p)= e-pτ;

Таким образом, звену чистого запаздывания соответствует передаточная функция, не являющаяся дробно-рациональной. Она трансцендентная.

Рассмотрим АФЧХ - частотную характеристику звена чистого запаздывания:

При любом w получается точка единичной окружности.

АЧХ: |Wзап(j ω )| = 1;

ФЧХ: ϕ ( ω )= -ωτ;

Рисунок 10‑7 Частотная характеристика

Видим, что звено чистого запаздывания добавляет отрицательный фазовый сдвиг, -1 1 чем больше, тем больше частота, темсамым уменьшая запас устойчивости по фазе. За счет этого сдвига система вполне может стать неустойчивой.

К сожалению, подобным образом нельзя описать запаздывание, зависящее от времени.

Фактически, мы ввели еще один стандартный блок, который можно было бы включить в стандартные звенья, если бы оно имело обычную, а не трансцендентную передаточную функцию. Полученное звено запаздывания формально является звеном бесконечного порядка, поэтому алгебраические методы исследования устойчивости системы, содержащей звенья запаздывания неприменимы.

Пример: Охватим инерционное звено ООС с запаздыванием на время τ.

Рисунок 10‑8 Инерционное звено ООС с запаздыванием

Вычислим для замкнутой системы передаточную функцию и характеристический полином:

У такого характеристического полинома бесконечное число корней, среди которых могут быть и корни неустойчивые, поэтому численные методы становятся бессмысленными для обоснования устойчивости. Неприменимы критерий Гурвица и необходимое условие устойчивости, а вот частотные критерии устойчивости полностью применимы. Критерий Михайлова и, вытекающий из него критерий Найквиста, позволяют вполне корректно судить об устойчивости таких систем. Найдём АФЧХ разомкнутой системы.

Как выяснить, при каком значении τ система (замкнутая) становится неустойчивой. Рассмотрим пограничный случай - прохождение через (-1;j0) на некоторой частоте ω *. Будем искать то минимальное значение времени запаздывания, при котором появляется неустойчивость. Подставляем АЧХ и ФЧХ инерционного звена и звена чистого запаздывания, решаем комплексное уравнение относительно ω *. Для этого приравняем по отдельности модуль и аргумент, для модуля имеется следующее равенство:

Для равенства аргументов требуется, чтобы sin(arctg ω *- ω * τ )=0; Отсюда вытекает, что

Поэтому для τ получаем:

Это значение τ есть то минимальное запаздывание в нашей системе, при котором замкнутая система уже становится неустойчивой. Заметим, что звено запаздывания может располагаться и в прямой ветви, в данном случае все расчёты сохраняются.

Дата добавления: 2014-01-06