Теорема дедукции

Вывод

Вывод - это последовательность формул, каждая из которых является посылкой или получена из предыдущих формул на основе правил вывода. Последняя формула есть заключение.

Пример.

Пусть имеется рассуждение:

1. Если прямая не имеет общих точек с плоскостью, то она параллельна этой плоскости.

2. Если прямая имеет две общих точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости.

3. Прямая не параллельна плоскости и не принадлежит ей, следовательно, она имеет одну общую точку и пересекает плоскость.

Введем обозначения:

х – прямая не имеет общих точек с плоскостью.

у – прямая параллельна плоскости.

z – прямая имеет две общих точки с плоскостью.

u – прямая принадлежит плоскости.

Рассуждение имеет вид: ху, zu, ├ .

Построим вывод.

1) ─ посылка

2) ─ УК (из 1);

3) ─- УК (из 1);

4) ху – посылка;

5) ─ ПО (из 4 и 2);

6) zu – посылка;

7) ─ ПО (из 6 и 3);

8) ─ ВК (из 5 и 7).

Теорема. Пусть дано, ,…, ├ (1), где - посылки. Тогда

, ,…, ├ (2).

Доказательство:

Так как рассуждение (1) правильное, то из истинности посылок не может следовать ложного заключения. Предположим, что рассуждение (2) неправильное. Тогда из истинности посылок , ,…, следует ложное заключение, то есть 0. Но 1, значит 0. Но тогда рассуждение (1) неверно. А этого не может быть, Мы получили противоречие, значит, предположение о неверности рассуждения (2) ложно.

Что и требовалось доказать.

Пример 1:

Рассмотрим ПО: рq, ^├

По теореме дедукции р ├ ; (ПК).

Пример 2

Рассмотрим рассуждение. рrq ^├ р.

По теореме дедукции: рrq, р ├ . Построим вывод:

1) р ─ посылка;

2) р – УК (1);

3) - УК (1);

4) р r q – посылка;

5) ─ ПО (4,3), т.е. ;

6) ─ УД (5,2).

Формула называется правилом расширенной контрапозиции (ПРК).

Дата добавления: 2014-01-06